1、章末综合测评(三)立体几何初步(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有()A3个B2个C1个D0个D当空间三点共线时不能确定一个平面；点在直 线上时不能确定一个平面；两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面 故以上4个条件都不能确定一个平面2在长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30 B45 C60
2、 D90D由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD903已知a，b，c是直线，则下面四个命题：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等其中真命题的个数为()A0 B3 C2 D1D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确4一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为()A24 cm2 B36 cm2 C72 cm2 D84 cm2C棱柱的侧面积S侧36472(cm2)5过空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕
3、此直线旋转角(0360)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内则这个八面体的旋转轴共有()A7条 B9条 C13条 D14条C由对称性结合题意可知，过EF，AC，BD的直线为旋转轴，其3条，此时旋转角最小为90；过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角最小为180；过八面体相对面中心的直线为旋转轴，共4条，此时旋转角最小为120综上，这个八面体的旋转轴共有13条故选C6在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的
4、中心，若BEx，A1Fy，则四面体OAEF的体积()A与x，y都有关 B与x，y都无关C与x有关，与y无关 D与y有关，与x无关B因为VOAEFVEOAF，考察AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AOA1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即AOF的面积是定值，所以四面体OAEF的体积与x，y都无关，故选B7在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A BC DC取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF，BE，BF，因为EF2BE2BF2，所以BE
5、F为直角三角形，cos 8在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A13 B20 C25 D29D如图，因为ABBC，AB2，BC3，所以AC，ABC外接圆的圆心为AC的中点O设外接球的球心为O，连接OO，则OO平面ABC因为PA平面ABC，所以OOPA，PAAC，则点O在平面PAC内，且为PAC的外接圆圆心，所以O为PC的中点，所以球的直径为PC，所以(2R)2AP2AC2，即R2，所以球的表面积为4R229二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分
6、，有选错的得0分)9a，b为不重合直线，为平面，下列结论正确的是()A若a，b，则ab B若a，b，则abC若a，b，则ab D若a，b，则abAC若a，b，由直线与平面垂直的性质可得ab，故A正确；若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故B错误；若b，则b垂直于内的所有直线，b也垂直于平行于的所有直线，又a，可得ab，故C正确；若a，b，则ab或a与b异面，故D错误故选AC10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的是()A直线AM与C1C是相交直线B直线AM与BN是平行直线C直线BN与MB1是异面直线D直线MN与AC所成的角为60C
7、D结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线连接D1C，AD1(图略)，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知ACD160，所以直线MN与AC所成的角为60，故选CD11如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点当点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的是()AEPACBEPBDCEP平面SBDDEP平面SACAC如图所示，连接NE，MEE，M，N分别是BC，CD，SC的中点，ENSB，MNSD，又ENMNN，SBSDS，平面SBD平面NEM，EP平面SBD，选项C恒成立
8、由正四棱锥SABCD，知AC平面SBD，AC平面NEM，ACEP，选项A恒成立选项B，D对于线段MN上的任意一点P不一定成立，故选AC12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是()A在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB异面直线AD与PB所成的角为90C二面角PBCA的大小为45DBD平面PACABC如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，侧面PAD为正三角形，PMAD，又底面ABCD是菱形，DAB60，ABD是等边三角形，ADBM，又PMBMM，PM，BM平面PMB，AD平面PBM，故A正确对于B，
9、AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90，故B正确对于C，平面PBC平面ABCDBC，BCAD，BC平面PBM，BCPB，BCBM，PBM是二面角PBCA的平面角，设AB1，则BM，PM，在RtPBM中，tanPBM1，即PBM45，故二面角PBCA的大小为45，故C正确对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误故选ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_(本题第一空2分，第二空3分)3设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2r2，解得r1，
10、根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积S22123，体积V1214已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为_3如图，过点S作SO平面ABCD，连接OC，则SCO60，SOsin 60SC2315如图， 在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_124因为D，E分别是AB，AC的中点，所以SADESABC14 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱锥FADE高的2倍， 所以V1V212416
11、长方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上任意一点，F为底面A1B1C1D1(除C1外)上一点，已知F在底面ABCD上的射影为H，若再增加一个条件，就能得到CHAD，现给出以下条件：EFB1C1；F在B1D1上；EF平面AB1C1D；直线FH和FE在平面AB1C1D内的射影为同一条直线其中一定能成为增加的条件的是_(填序号)对于，因为ADB1C1，EFB1C1，所以ADEF，又ADFH，FHEFF，所以AD平面FHCE，所以ADCH；对于，F在B1D1上，当点F与点B1重合时，CH就是CB，显然CB不垂直AD；对于，因为EF平面AB1C1D，所以EFAD，由可得ADCH；对于，因为直线F
12、H和FE在平面AB1C1D内的射影为同一条直线，即平面FHCE平面AB1C1D，又平面FHCE平面ABCD，且平面ABCD平面AB1C1DAD，所以AD平面FHCE，所以ADCH四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 解如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R因为，所以，所以l cm即圆锥的母线长为 cm18(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的
13、中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1证明(1)C1C平面ABC，C1CACAC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1又OD平面CDB1，AC1平面CDB1AC1平面CDB119(本小题满分12分)如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACB90，BAC60，PAAC，M为PB的中点(1)求证：PCBC；(2)求二面角MACB的大小解(1)证明：由PA平面ABC，所以PABC，又因为ACB90，即
14、BCAC，PAACA，所以BC平面PAC，所以PCBC(2)取AB中点O，连接MO，过O作HOAC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MOPA，又因为PA平面ABC，所以MO平面ABC，所以MHO为二面角MACB的平面角，设AC2，则BC2，MO1，OH，在RtMHO中，tanMHO，所以二面角MACB的大小为3020(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解(1)如图，由已知ADBC，故DAP或其补角为异
15、面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得AP，所以cosDAP所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为(2)因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD又BCAD，所以PDBC，又PDPB，PBBCB，所以PD平面PBC(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF与平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得
16、sinDFP所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为21(本小题满分12分)如图，几何体ABCA1DC1由一个正棱柱截去一个三棱锥而得，AB4，AA13，A1D1，AA1平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM平面BC1D(1)若点N在棱BC上，且BN2NC，证明：EN平面BC1D；(2)过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置(说明作法及理由)，并求线段OE的长解(1)证明：EM平面BC1D，EM平面ABDA1，平面ABDA1平面BC1DBD，BDEM过D作DHAB于H，连接CH，则CHC1D，则HMABABAB，HMMBCNNB12，MNCH，则MNC1DEMMNM，平
17、面EMN平面BC1DEN平面EMN，EN平面BC1D(2)在线段AB上取一点F，使BFA1D1，则A1FBD，由(1)知EMBD，EMA1F，AE32取BC的中点G，连接AG，EG，过A作AOEG于O，则AO平面BCE证明如下：由题意可知，ABC为等边三角形，则AGBC，又AA1平面ABC，AA1BCAGAA1A，BC平面AEG，BCAO又EGBCG，AO平面BCE由射影定理可得，AE2OEEG，又AE2，EG2，OE22(本小题满分12分)已知正三角形ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将三角形ADC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC平面BCD，如图所示
18、(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)若三棱锥EDFC的体积为，求实数a的值；(3)在线段AC上是否存在一点P，使得BPDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)AB平面DEF理由如下：在ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF(2)由题意，得ADCD平面ADC平面BCD，AD平面BCD取CD的中点M，连接EM，则EMAD，EM平面BCD，且EM易得SDFC三棱锥EDFC的体积为，解得a2(3)在线段AC上存在一点P，使得BPDF理由如下：易知三角形BDF为正三角形，过B作BKDF交DC于点K，连接KF，过K作KPDA交AC于点P，连接BP，则点P即所求AD平面BCD，KPAD，PK平面BCD，PKDF又BKDF，PKBKK，DF平面PKB，DFPB又DBKKBCBCK30，DKKFKC故，从而
