1、 5.3 函数的单调性 课程标准学习目标（1）结合实例，经历从具体的直观描述到符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.（2）在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.（3）通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.（2）理解函数单调性的作用和实际意义.（3）在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 .（4）借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.知识点01 函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为
2、，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间函数的单调性是函数在某个区间上的性质知识点诠释：单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；单调性是通过函数值变化与自变量的
3、变化方向是否一致来描述函数性质的；不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；有的函数不具有单调性；遵循最简原则，单调区间应尽可能大3、证明函数单调性的步骤（1）取值设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结论”进行判断（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、
4、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间（4）记住几条常用的结论若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然
5、后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要
6、确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求
7、解（1）在上恒成立在上的最大值（2）在上恒成立在上的最小值实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题【即学即练1】（2023河南郑州高一校考阶段练习）英国著名物理学家牛顿曾研究过函数的图象，其形恰如希腊神话中海神波塞冬的武器三叉戟，因此的图象又称为牛顿三叉戟曲线(1)证明：在上为减函数；(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围【解析】（1）取，且，则因为，所以，所以，又，所以，所以，即，故在上为减函数（2）取，且，当时，所以，即，所以在上为减函数当时，所以，即，所以在上为增函数所以在上有最小值为要使时，不等式恒成立，则，解之得，故实数m的取值范围
8、为知识点02 基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k0时，函数在定义域R是减函数2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k0时，f（x）1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【解析】设，则，从而，即，又，即，故f（x）在R上是增函数.例23（2023浙江宁波高一余姚中学校考阶段练习）已知函数满足，当时，且.(1)求，的值，并判断的单调性并证明；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）令，得，得令，得，得设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以因为，所以，所以，因此即在上为增函数（2）因为，即又，所以又因为在上为增函数，所以在上恒成立得在上恒
9、成立即在上恒成立因为，当时，取最小值，所以，即时满足题意.例24（2023河北邯郸高一校考期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，都有；当且仅当时，成立(1)求；(2)用定义证明的单调性；【解析】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，所以，即，所以函数在单调递减.变式23（2023全国高一专题练习）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.【解析】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得.（2）设，则，所以，即，因为 所以，所以，即都有，所以在上单调递减.（3）由题可知，所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由（2）
10、知在上单调递减，所以，即即，解得.所以，解集为.变式24（2023全国高一专题练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：；任意，有(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式【解析】（1）任意，有，当，有，当，有，（2）结论：在区间上是减函数证明：任取，设，则，任意，有，当，有，在区间上是减函数（3），设，由（2）可知函数在区间上是减函数，又，可知：当时，；当时，不等式的解集为变式25（2023河南漯河高一校考期末）已知函数满足：定义域为：对于任意正数、，；当时，(1)求的值；(2)判断的单调性，并说明理由；(3)若，解不等式【解析】（1）令，则.（2）函数在上为减函数，
11、理由如下：任取、，且，则，即，在上为减函数.（3）令，则，即，则不等式可化为：，由（2）知，原不等式等价于，解得：，不等式的解集为：.题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例25（2023黑龙江双鸭山高一双鸭山一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且(1)分别求函数和的解析式；(2)设，求的最小值【解析】（1）定义在上的函数满足，可得，由可得；设二次函数，因为的最小值为，且，所以，解得，可得；（2），当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，当时，所以，所以例26（2023全国高一专题练习）已知二次函数，的最大值为16；(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间的
12、最大值.【解析】（1）由已知函数是二次函数，且，函数图象的对称轴为，又的最大值为16，设，又，；（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，若，则在上是减函数，最大值；若，即，则在上是增函数，；若，即，则；综上所述，当时，；当时，；当时，例27（2023全国高一专题练习）求关于的二次函数在上的最小值【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，当时，二次函数在上单调递增，所以.当时，.当时，二次函数在上单调递减，所以.综上所述，.变式26（2023宁夏银川高一校考期中）已知二次函数满足，(1)求的解析式；(2)当，求的值域【解析】（1）设二次函数，由，可得，则，解之得，则二次函数的解析式为（2）由（1
13、）得，则在单调递减，在单调递增，又，则当时的值域为变式27（2023全国高一专题练习）（1）求二次函数在上的最小值；（2）求函数在闭区间上的最小值【解析】（1）函数图象的对称轴是，当时，在上是增函数，.当时，在上是减函数，.当时，.设在的最小值为.（2）.设在上的最小值为.当时，在上是增函数，；当，即时，；当即时，在上是减函数，.综上，.变式28（2023高一课时练习）已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点.(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最大值和最小值【解析】（1）因为一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，设，因为
14、函数的图象过点，则有，解得.所以，函数的解析式为.（2）因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取最大值，当时，；当时，则.故函数在上的最大值为，最小值为.变式29（2023宁夏石嘴山高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且(1)求的解析式;(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围;(3)若，试求的最小值.【解析】（1）由已知，可得对称轴为，则函数的顶点坐标为，设，由，得，故；（2）因为函数的对称轴为1，在区间上不单调，所以对称轴在区间内，即，解得；（3）当时，函数在上单调递增，.当时，即时，当时，即时，函数在上单调递减，综上所述：.变式30（2023江西景德
15、镇高一统考期中）已知二次函数的对称轴为x1，且经过点与(1)求的解析式；(2)已知t0，函数在区间上的最小值为1，求实数t的取值范围【解析】（1）二次函数的对称轴为，且经过点，其与轴另一交点为设，将代入，解得：.（2）二次函数的对称轴为，单调递减, 单调递增,若，单调递减, 单调递增,则，此时成立；若，单调递增,则，解得，舍去综上所述，题型十：恒成立与能成立问题例28（2023河南南阳高一校考阶段练习）已知a，b为常数，且，.(1)若方程有唯一实数根，求函数的解析式(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只
16、需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.例29（2023云南曲靖高一校考阶段练习）已知函数(1)判断并且证明函数在上的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围【解析】（1）函数在上单调递减证明如下：设任意的且，所以，在上单调递减（2）由（1）可知在上单调递减，且，当时且当时，所以且当时，又当时，恒成立，所以.例30（2023陕西西安高一校考期中）已知函数.(1)当时，利用函数单调性定义证明在上单调递增；(2)当时，求函数在的值域；(3)若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围.【解析】（1）由，则，设，由，则，即，所以在上单调递增.（2）由（1）可知在上
17、单调递增，当时，则，所以函数在上的值域为.（3）解法一：依题意在上恒成立，即在上恒成立，记，由在上单调递增，当时，取得最小值为，所以当，即时，恒成立.于是实数的取值范围为.解法二：依题意在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立.令，由于在上单调递减，所以当时，取得最大值为，所以.变式31（2023浙江丽水高一统考期末）已知函数.(1)若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；(2)，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，在区间上单调递增.证：，且，则，即，在区间上单调递增.（2）由，因为，所以有，可得，可得，可得，可得或，因为，所以的最大值为1，的最小值为，综上可知，的取值范围是或.变式
18、32（2023广西玉林高一统考期末）已知(1)若的解集为或，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围【解析】（1），若的解集为或，则，是方程的根，即，解得：（2）若对任意，恒成立，即若对任意，由已知得，当且仅当时取等号，所以，即的取值范围为.变式33（2023全国高一专题练习）已知函数(1)分析的最值情况；(2)若函数在区间上，恒成立，求正实数a的取值范围【解析】（1）函数，则，令，故 当时，即时，当且仅当时等号成立；当时，即时，当且仅当时等号成立，综上：当时，的最小值为，没有最大值；当时，的最大值为，没有最小值（2）易知，因为，解得（i）当时，即当时，在上单调递增，所以，当时，解得，此时
19、；（ii）当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，可得，因为，则，所以，可得，此时综上所述，变式34（2023全国高一专题练习）设二次函数同时满足下列条件：当时，总有；函数的图象与轴的两个交点为，且；.(1)求的解析式；(2)对，都有成立，求满足条件的实数的取值范围.【解析】（1）由当时，总有，可得的图象关于直线对称，由函数的图象与轴的两个交点为，且，可得方程的两根为和，所以设，又，则，解得，所以，即.（2）因为对，都有成立，即，成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则，要使对恒成立，则，解得，即实数的取值范围为.变式35（2023陕西汉中高一校考期中）已知函数有如下性质：如果常
20、数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.【解析】（1）依题意，设，则.令，.由已知性质得，当时，单调递减；当时，单调递增.又，.的值域为.（2）为减函数，故，.由题意得，当时，的值域是的值域的子集，解得.变式36（2023黑龙江大庆高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.【解析】（1）因为二次函数，所以关于的不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，记，因为，所以，则，因为在上单调递
21、增，所以，所以；（2）对，使不等式成立，转化为，在上单调递增，当，即时，在上单调递增，此时，且，解得；当，即时，在上单调递减，此时，且，解得；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，且，解得，综上所述，实数的取值范围为或.一、单选题1（2023江苏南京高一南京外国语学校校考阶段练习）方程在区间内有解，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以由，设，当时，函数单调递增，所以，要想方程在区间内有解，只需，故选：D2（2023河南新乡高一统考阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯数千光照，花焰七枝开”烟花，虽然是没有根的花，是
22、虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（）A第2秒B第3秒C第4秒D第6秒【答案】C【解析】依题意，当时，烟花达到最高点故选：C.3（2023江西上饶高一江西省广丰中学校考阶段练习）下列函数在区间上单调递增的是（）ABCD【答案】B【解析】对于A，在上单调递减，故A错误；对于B，易知开口向上，对称轴为，所以在区间上单调递增，故B正确；对于C，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故D错误.故选：B.4
23、（2023辽宁高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】原不等式可化为，令，是关于的一次函数，因为“，”为真命题，所以或，即或，解得或,所以的取值范围为故选：B5（2023湖南郴州高一郴州一中校考阶段练习）已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（）A1B2C3D4【答案】D【解析】由的图象关于直线对称，可得，所以.因为的最小值为2，所以，可得，故.令，解得或.所以最小为，最大为3，则的最大值为4.故选：D.6（2023全国高一专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】函数的单调
24、递减区间为，因为函数在区间上是减函数，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：C7（2023安徽安庆高一安庆市第七中学校考期中），对于，都有成立，求的取值范围（）ABCD【答案】C【解析】因为定义在上的函数满足对，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.8（2023全国高一专题练习）已知函数，则的值域是（）ABCD【答案】A【解析】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，且，所以；由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，综上：函数的值域为.故选：A.二、多选题9（2023全国高一专题练习）已知，则（）A最小值B最大值
25、为C无最小值D无最大值【答案】AD【解析】根据题意函数，在同一坐标系下画出两函数图象如下：根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线；由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确；且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确.故选：AD10（2023辽宁丹东高一丹东市第二中学校考阶段练习）对于恒成立，则的可能取值为（）ABCD【答案】ABC【解析】设，则，则的图象如下所示：由图可知当时取得最小值，即当且仅当时取等号，因为对于恒成立，所以，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC11（2023黑龙江哈尔滨高一哈师大附中校考阶段练习）当时，使得
26、不等式恒成立的充分不必要条件是（）ABCD【答案】AB【解析】当时，若不等式恒成立，则恒成立，在上单调递增，即当时，不等式恒成立的充要条件为；对于A，是的一个充分不必要条件，A正确；对于B，是的一个充分不必要条件，B正确；对于C，是的一个既不充分也不必要条件，C错误；对于D，是的一个既不充分也不必要条件，D错误.故选：AB.12（2023全国高一专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（）A1B2C3D4【答案】BCD【解析】，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，又，故要想在上的值域为，则要，故实数的值可以是.故选：BCD三、填空题13（2023山西太原高一太原师范学院
27、附属中学校考阶段练习）已知函数，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 【答案】【解析】对对任意的、且，总有，不妨设，则，即，所以，函数是定义在上的增函数，因为，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.14（2023北京顺义高一牛栏山一中校考阶段练习）已知分式方程，令，化简可得关于的整式方程为 【答案】（且）【解析】，（时取等号），又由题意得，且.将，代入，得，化简整理可得关于的整式方程为（且）.故答案为：（且）.15（2023浙江宁波高一余姚中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是 .【答案】/【解析】由，得，解得或，所以的定义域为，令，则，因为在上递减，在上递增，而在定义域内递增，
28、所以在上递减，在上递增，所以的单调递增区间是或，故答案为：16（2023河南郑州高一郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为，令，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为，因为，恒成立，所以，即.故答案为：四、解答题17（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为(1)求的定义域；(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围【解析】（1）的定义域为，函数中，函数的定义域为，即（2）令，使得成立，即大于在上的最小值根据二次函数的性质可知，在上单调递减，最小值为，实数的取值范围是18（2023全国高一专题练习）已知函数在
29、区间上单调递增，求实数a的取值范围【解析】当时，在区间上单调递减，故，此时，反比例函数在上单调递减，则函数在上单调递减，而函数在区间上单调递增，必有，即，则实数a的取值范围为.19（2023江西宜春高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.(1)当，时，求函数的最大值和最小值；(2)若函数在上的最大值为，求实数的值.【解析】（1）当时，故当时，由二次函数性质可知，（2）函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，即当时，解得，满足题意；当时，即当时，解得，不满足题意.综上所述，.20（2023安徽阜阳高一阜阳市第三中学校考阶段练习）已知函数，且.(1)证明：在区间上单调递减；(2)若对恒成立，求实
30、数t的取值范围.【解析】（1），解得，所以，任取，则，又，所以，所以，即，所以在区间上单调递减；（2）对恒成立，即对恒成立，故二次函数必与x轴存在两个交点，只需要满足即可，解出，因此实数t的取值范围为.21（2023辽宁沈阳高一沈阳二十中校考阶段练习）设函数，函数(1)求的取值范围；(2)若对于任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围；(3)若关于的不等式在存在解集，求整数m的最大值【解析】（1），定义域为，由，当时，符合题意，当时，由，知，解得且，综上，.（2）对于任意的，总存在，使得，即由（1）知，因为是减函数，所以当时，所以，解得.（3）由可得，分离参数可得，由题意，不等式在存在解集，则因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得,所以整数m的最大值为1.22（2023全国高一专题练习）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.【解析】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得.（2）设，则，所以，即，因为 所以，所以，即都有，所以在上单调递减.（3）由题可知，所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由（2）知在上单调递减，所以，即即，解得.所以，解集为.
