1、学案39 数列综合问题 一、课前准备:【自主梳理】1.等差数列的有关概念:(1)等差数列的判断方法:定义法 或 从函数思想角度:为等差数列 、 为等差数列 (2)等差数列的通项: 或 (3)等差数列的前和: 或 (4)等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且 2.等差数列的性质:(1)(2)当时,则有 (3) ,也成 数列3.等比数列的有关概念:(1)等比数列的判断方法:定义法 ,或 ()(2)等比数列的通项: 或 (3)等比数列的前和: (4)等比中项:若成等比数列,那么A叫做与的等比中项,且 4.等比数列的性质:(1)(2)当时,则有 , (3) 若是等比数列,且公比,则数列 ,也
2、是 数列5. 数列求和的常用方法: 6. 数列求通项的常用方法: 【自我检测】1已知等比数列的公比为正数,且=2,=1,则= 已知为等差数列,且21, 0,则公差d 设是等差数列的前n项和,已知,则等于 设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和= 等差数列的公差不为零,首项1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是 数列1,12,1222,12222n1,的前n项和为 二、课堂活动:【例1】填空题:(1)等比数列an,an0,q1,且a2、a3、a1成等差数列,则等于 (2)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 (3)等差数列的前n项和为,已知,,则 (4)数列
3、an中,a1,a2a1,a3a2,anan1是首项为1、公比为的等比数列,则an等于 【例2】已知三个实数成等比数列,在这三个数中,如果最小的数除以2,最大的数减7,所得三个数依次成等差数列,且它们的积为103,求等差数列的公差.【例3】已知等差数列an中,a28,前10项和S10185.(1)求通项;(2)若从数列an中依次取第2项、第4项、第8项第2n项按原来的顺序组成一个新的数列bn,求数列bn的前n项和Tn.课堂小结三、课后作业1 在等差数列an中,已知a4a7a1017,a4a5a6a1477,若ak13,则k 2 若a、b、c成等比数列,则函数yax2bxc与x轴的交点的个数为 3
4、数列an中,已知对于nN*,有a1a2a3an2n1,则aaa= 4等差数列an、bn的前n项和分别为Sn与Tn,若,则等于 5设等比数列的公比,前项和为,则 6某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 个 7Sn123456(1)n+1n,则S100S200S301等于 8已知an (nN*),则数列an的最大项为第_ _项9已知yf (x)为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)15, 求Snf (1)f (2)f (n)的表达式.10 已知数列an中,a1,an0,Sn1Sn3an1.(1)求an;(2)
5、若bnlog4|an|,Tnb1b2bn,则当n为何值时,Tn取最小值?求出该最小值四、 纠错分析错题卡题 号错 题 原 因 分 析学案39 数列综合问题 一、课前准备:【自主梳理】1.等差数列的有关概念:(1)等差数列的判断方法:定义法 或 。 从函数思想角度:为等差数列 、 为等差数列(2)等差数列的通项: 或 。(3)等差数列的前和: 或 (4)等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且2.等差数列的性质:(1)(2)当时,则有 (3) ,也成等 差数列3.等比数列的有关概念:(1)等比数列的判断方法:定义法,或()(2)等比数列的通项:或(3)等比数列的前和: (4)等比中项:若
6、成等比数列,那么A叫做与的等比中项,且4.等比数列的性质:(1)(2)当时,则有, (3) 若是等比数列,且公比,则数列 ,也是等比数列5.数列求和的常用方法:公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法等6.数列求通项的常用方法:公式法、累加法、累乘法、一阶递推、求导数等【自我检测】1已知等比数列的公比为正数,且=2,=1,则= 已知为等差数列,且21, 0,则公差d设是等差数列的前n项和,已知,则等于49设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和= 等差数列的公差不为零,首项1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是100数列1,12,1222,12222n1,的前n项和
7、为 2n+1n2 二、课堂活动:【例1】填空题:(1)等比数列an,an0,q1,且a2、a3、a1成等差数列,则等于 (2)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 60(3)等差数列的前n项和为,已知,,则10(4)数列an中,a1,a2a1,a3a2,anan1是首项为1、公比为的等比数列,则an等于 (1) 【例2】已知三个实数成等比数列,在这三个数中,如果最小的数除以2,最大的数减7,所得三个数依次成等差数列,且它们的积为103,求等差数列的公差.解:设成等比数列的三个数为 ,a,aq,由aaq103,得a10,即等比数列,10,10q.(1)当q1时,依题意,(1
8、0q7)20.解得q1 (舍去),q2.此时2,10,18成等差数列,公差d8.(2)当0q1,由题设知(7)5q20,得成等差数列的三个数为18、10、2,公差为8.综上所述,d8.【例3】已知等差数列an中,a28,前10项和S10185.(1)求通项;(2)若从数列an中依次取第2项、第4项、第8项第2n项按原来的顺序组成一个新的数列bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设an公差为d,有解得a15,d3ana1(n1)d3n2(2)bna32n2Tnb1b2bn(3212)(3222)(32n2)3(21222n)2n62n2n6.课堂小结三、课后作业1在等差数列an中,已知a4a
9、7a1017,a4a5a6a1477,若ak13,则k182若a、b、c成等比数列,则函数yax2bxc与x轴的交点的个数为 0 3数列an中,已知对于nN*,有a1a2a3an2n1,则aaa=(4n1)4等差数列an、bn的前n项和分别为Sn与Tn,若,则等于 5设等比数列的公比,前项和为,则 15 6某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 512个 7Sn123456(1)n+1n,则S100S200S301等于 1 8已知an (nN*),则数列an的最大项为第_8或9 _项9已知yf (x)为一次函数,且f (2)、f (5)、
10、f (4)成等比数列,f (8)15,求Snf (1)f (2)f (n)的表达式.解:设yf(x)kxb,则f(2)2kb,f(5)5kb,f(4)4kb,依题意:f (5)2f (2)f (4).即(5kb)2(2kb)(4kb)化简得k(17k4b)0.k0,bk 又f(8)8kb15 将代入得k4,b17.Snf (1)f (2)f (n)(4117)(4217)(4n17)4(12n)17n2n215n.10 已知数列an中,a1,an0,Sn1Sn3an1.(1)求an;(2)若bnlog4|an|,Tnb1b2bn,则当n为何值时,Tn取最小值?求出该最小值解析:(1)由已知得两式相减得an1an3(an1an),所以an12an(n2)又S2S13a2,a22a13a2,a2a1,a22a1,an12an(nN*)因为a1,所以an2n12n8.(2)bnlog4|2n8|(n8)令bn0得n8,且b80,所以当n7或8时,Tn最小,最小值为14.四、 纠错分析错题卡题 号错 题 原 因 分 析