1、山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期4月模拟试题 文（含解析）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2. 若，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】由题意可得，且，.故选：D【点睛】本题主要考查了共轭复数与模长的概念与计算,属于基础题.3. 已知非零向量满足，且，则的夹角为A. B. C. D. 【
2、答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到【详解】，即，又，解得，结合，所以，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.4. 若 ，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系5. 已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上任意一
3、点，则的最小值为( )A. 1B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，设点在双曲线右支上，则，设，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由题意知，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题.6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） 若，则，中至少有一个不小于；是的充要条件； 函数是奇函数，则的图像关于对称.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用逆否命题的真假判断的正误；由可得，反之不成立，取即可判断；利用全称命题直接判断的正误即
4、可；利用函数的奇偶性以及对称性说明的正误.【详解】解：对于，逆否命题为：，都小于1，则是真命题所以原命题是真命题对于，反之不成立，取，不能说，所以是假命题；对于，；显然是真命题；对于，函数是奇函数，函数的对称中心为，则的图象是的图象向右平移1个单位得到的，所以关于对称是真命题；故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点（ ）A. 都在函数的图象上B. 都在函数的图象上C. 都在函数的图象上D. 都在函数的图象上【答案】C【解析】【分析】列出循环的每一步，根据输出的点的坐标可判断出点符合
5、哪一个函数的解析式.【详解】开始：，进行循环：输出，输出，输出，输出，因为，退出循环，则输出的所有点、都在函数的图象上.故选：C.【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8. 已知函数满足：且（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【详解】可设，则f（x）满足题意.易知但15,排除A.但23,排除C.排除D故选B.9. 函数（）的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.
6、【答案】C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x0时，f（x）logax（0a1）是单调减函数，即可得出结论【详解】由题意，f（x）f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x0时，f（x）logax（0a1）是单调减函数，排除A故选C【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键10. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案.【详解】在等差数列中，由，得，在等比数列中，由，得，则.故选：D.【点睛】本题考查等差数列与
7、等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题.11. 抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依题意可得的外接圆的圆心一定在抛物线上，且圆心在的垂直平分线上，所以，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；【详解】解：因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，则的外接圆的圆心一定在抛物线上.又因为圆心在的垂直平分线上，则此外接圆的半径，故此外接圆的面积，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档
8、题.12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. 14B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】还原三视图如下：其表面积为故选二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 若样本数据、的平均数为，则数据、，的平均数为_.【答案】【解析】分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】因为样本数据、的平均数为，则，所以数据、的平均数为，故答案为：.【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.14. 已知，满足约束条件，若的最大值为，则_【答案】【解析】【分析】画出可行域，当直线的截距最大时，取得最大
9、值，若，则目标函数在点取得最大值，若，则目标函数在点取得最大值，分别求解即可得到答案【详解】画出，满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，若，则目标函数在点取得最大值，解方程，得，则，解得，不满足题意；若，则目标函数在点取得最大值，解方程，得，则，解得，满足题意故答案为2.【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题15. 函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_.【答案】【解析】【分析】求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于轴对称，可得出关于的等式，即可求得的最小正值.【详解】函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则平移
10、后函数的解析式为，当时，取得最小正值，此时，因此，的最小正值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性，考查推理能力，属于中等题.16. 已知，若满足的有四个，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.【详解】满足的有个，方程有4个根，设，则，令，得.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，画出函数的大致图象，如图
11、所示：，保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，即可得到函数的图象如下图所示：令，则，所以要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，设，因为，则只需，解得：，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.三解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 已知数列是等比数列，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）等比
12、数列中，是和的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入，求出，利用错位相减法求出.【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以，.因为是和的等差中项，所以.即，化简得.因为公比，所以.所以；（2）因为，所以，所以.则，得，所以.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法，考查运算能力，属中档题.18. 如图，四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，.（1）若，求证：/平面；（2）若，且三棱锥的体积为，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）
13、连接交于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，可得/，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得，进一步可得，然后根据，可得，最后利用勾股定理，可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接.如图由四棱柱的性质可知/，且，则/.四边形ABCD为平行四边形，.同理，四边形为平行四边形，/.又平面，平面，/平面.（2），.又，.由正弦定理可得，解得，即.又平面ABCD，即平面ABCD，CD，CA两两垂直.，.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.19. 2019年下半年以来，各地区陆续出
14、台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄处于区间内的人中随机抽取人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方图和表中统计数据.（1）求值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在区间中的概率.组数分组“环保族”人数占本组频率第一组450
15、.75第二组25第三组0.5第四组30.2第五组30.1【答案】（1），；（2）31；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和表中统计数据计算可得；（2）根据频率分布直方图计算出平均数即可；（3）根据古典概型的概率计算公式计算可得；【详解】解：（1）对于第一组，人数为，占总人数，故总人数人，所以，.（2）设这人年龄的平均值为，所以.（3）易知采用分层抽样法抽取的9人中，在内的有5人，在内的有4人，选取2名记录员的可能情况共有种，均在内的有种，恰有一个在内的有种，故所求概率.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率计算问题，属于中档题.20. 已知过原点的动直线与圆相交于不
16、同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设，则 点为弦中点即，即， 线段的中点的轨迹的方程为；（3
17、）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程21. 已知函数，函数在点处的切线与函数相切.（1）求函数的值域；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，与函数的解析式联立，由可求得的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；（2）要证明，即证，即证，求出函数的最小值，并利用导数求出函数的最大值，由此可得出结论.【详解】（1）切点，则，.所以，函数在
18、点处的切线方程为，即.函数在点处的切线与函数相切.联立，化为，解得.，所以，函数的值域为；（2）要证，即证，即证.设，则函数的定义域为.，.当时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减.所以，函数的最大值为.所以，但是函数的最小值和函数的最大值不在同一处取得，因此，.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题.请考生在2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C的极坐标方程是sin28cos0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建
19、立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点P(2，0)(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设点Q与点G的极坐标分别为，(2，)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求GAB的面积【答案】(1) y28x， (t为参数)(2) .【解析】分析】（1）曲线C可化为2sin28cos0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方程；（2）先求出直线l的参数方程为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t28t320，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出|AB|=16, 再求点G到直线l的距离，即得GAB的面积【详解】(1)曲线C可化为2s
20、in28cos0，其直角坐标方程为y28x，直线l的参数方程为(t为参数)(2)将点的极坐标化为直角坐标得(0，2)，易知直线l的倾斜角，所以直线l的参数方程为(t为参数)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，整理得t28t320，(8)24322550，设t1，t2为方程为t28t320的两个根，则t1t28，t1t232，所以.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(2，0)，易求点G到直线l的距离，所以.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.选修4-5：不等式选讲
21、23. （1）若、均为正数，且.证明：；（2）若不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将代入可得，由三元均值不等式，即可得证；（2）先由方程的根为求出的值，然后代入不等式，解不等式验证即可，进而可得出实数的值.【详解】（1）、均为正数，且，当且仅当时，等号成立，因此，；（2）由题意可知方程的根为，则，解得或.当时，原不等式为.当时，由，此时；当时，由，得，此时；当时，由，此时.所以，不等式的解集为，不合乎题意；当时，原不等式为.当时，由，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，此时.所以，不等式的解集为，合乎题意.综上所述，.【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题.
