1、1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 课后篇巩固提升基础巩固1.圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于()A.72B.42C.67D.72解析 S 圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底=(3+4)6+32+42=67.答案 C2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为()A.1B.C.D.解析设圆柱底面半径为 R,圆锥底面半径为 r,高都为 h,由已知得 2Rh=rh,r=2R,V 柱V 锥=R2h r2h=34,故选 D.答案 D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B
2、.C.D.8解析由图可知该几何体是底面积为 8,高为 2 的四棱锥,如图所示:该几何体的体积 V=82=.答案 B4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36 B.54+18 C.90D.81解析由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为 3 的正方形,侧棱长为 3,所以所求表面积为(33+36+33)2=54+18,故选 B.答案 B5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.B.C.D.解析设正方形的边长为 a,圆柱的底面圆的半径为 r,则 2r=a,r=,所以圆柱的底面积为 ,侧面
3、积为a2,表面积与侧面积的比是 .答案 D6.若半径为 2 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 .解析由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为 r,高为 h,则 解得 故它的体积为 12 .答案 7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为 .解析由三视图可得该几何体是三棱柱,底面是侧视图的三角形,底边为 6、腰为 5,一个底面的面积是12,三棱柱高是 4,则侧面积为(5+5+6)4=64,所以表面积为 24+64=88.答案 888.如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为 b,则圆
4、柱被截后剩下部分的体积是 .解析两个同样的该几何体能拼接成一个高为 a+b 的圆柱,则拼接成的圆柱的体积 V=r2(a+b),所以所求几何体的体积为 .答案 9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点 P,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体表面上,从 P 到 Q 点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=2a a=a2,S 圆柱侧=2a2a=4a2,S 圆柱底=a2,所以 S 表=a2+4a2+a2=(+5)a2.(2)沿
5、 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则 PQ=a ,所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a .10.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4,高与斜高的夹角为 30,求正四棱锥的侧面积和表面积.解如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 RtPOE.OE=2,OPE=30,PE=2OE=4.因此 S 侧=4 PEBC=4 44=32,S 表面=S 侧+S 底=32+16=48.能力提升1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1B.2C.3D.6解析依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为 1、2
6、的直角三角形,侧棱长为 3,因此其体积为 12 3=3.答案 C2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8 cm3B.12 cm3C.cm3D.cm3解析由已知得,该几何体是由一个棱长为 2 的正方体与一个底面边长为 2,高为 2 的正四棱锥组合而成,故其体积为 V=23+222=8+(cm3),故选 C.答案 C3.如图,在四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形 ABCD 绕 AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A.(60+4)B.(60+8)C.(56+8)D.(56+4)解析四边形 ABCD 绕 A
7、D 所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=+(r1+r2)l2+r1l1=52+(2+5)5+22=(60+4).故选 A.答案 A4.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A.4-B.8-C.8-D.8-2解析由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几
8、何体是从一个正方体中挖去半个圆柱,正方体的体积为 23=8,半圆柱的体积为 (12)2=,因此该不规则几何体的体积为 8-.答案 C5.如图,圆台的上、下底面半径和高的比为 144,母线长为 10,则圆台的侧面积为 .解析设圆台的上底面半径为 r,则下底面半径为 4r,高为 4r.由母线长为 10 可知 10=5r,解得 r=2.则圆台的上、下底面半径和高分别为 2,8,8.故圆台的侧面积为(2+8)10=100.答案 1006.一个封闭的正三棱柱容器,高为 3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点 E,F,F1,E1分别为所在
9、棱的中点,则图甲中水面的高度为 .解析因为 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB3=SABC3=SABC,设图甲中水面的高度为 h,则 SABCh=SABC,所以 h=,故答案为 .答案 7.如图,一圆锥形封闭容器高为 h,圆锥内水面高为 h1,且 h1=h,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为 h2,求h2.解因为 圆锥 圆锥 (),所以 水 圆锥 .倒置后的体积关系为 水 圆锥 ,所以 h2=h.8.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图
10、所示,且 VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2.取 BC 的中点 D,连接 VD,则 VDBC,有VD=-,则 SVBC=VDBC=2 ,(2)2 =3,故三棱锥 V-ABC 的表面积为3SVBC+SABC=3 +3=3().9.(选做题)如图,一个圆锥的底面半径为 1,高为 3,在圆锥中有一个半径为 x 的内接圆柱.(1)试用 x 表示圆柱的高;(2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?解(1)设所求的圆柱的底面半径为 x,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,圆柱的高为 h,由图得 -,即 h=3-3x(0 x1).(2)S 圆柱侧=2xh=2x(3-3x)=6(x-x2),当 x=时,圆柱的侧面积取得最大值为 .当圆柱的底面半径为 时,它的侧面积最大为 .
