1、2019-2020学年度第二学期期中自主练习高一数学一、单项选择题1.设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得到结果.【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限.故选：A.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题2.若向量，与共线，则实数的值为（ ）A. B. C. D.
2、【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的性质即可得解.【详解】向量，又与共线，解得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.3.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】作出原图和直观图，然后求面积.【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.故选：D.【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.4.在中，则此三角形（ ）A. 无解B. 两解C
3、. 一解D. 解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，即可做出判断【详解】在中，由正弦定理得：，又，此三角形有两解故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积.【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，所以圆柱的侧面积为.故选：D.【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这
4、些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.6.在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角形相似推出，再利用边的比例关系及平行四边形法则即可求解.【详解】，.故选：C【点睛】本题考查用基底表示向量、平面向量线性运算，属于基础题.7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各
5、为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ）A. 17斛B. 25斛C. 41斛D. 58斛【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为1.62立方尺，故选：C【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算，属于基础题8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，则的长为（ ）A. B. 5C. D. 7【答案】A【解析】【分析】在中，由正弦定理求出，再根据诱导公式求出，最后在中，由余弦定理计算可得；【详解】解：在中，由正弦定理可得，即所以，又因为，所
6、以在中，由余弦定理可得即所以故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.二、多项选项题9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A. 若复数（i为虚数单位），则B. 若复数z满足，则C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算及相关概念一一判断可得；【详解】解：对于A：，所以，故A正确；对于B：设，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；故选：AD【点睛
7、】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.10.下列叙述错误的是（ ）A. 已知直线和平面，若点，点且，则B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交D. 若直线和不平行，且，则l至少与，中的一条相交【答案】BC【解析】【分析】根据线线关系、线面关系的性质定理及判定定理判断可得；【详解】解：由公理一，可知A正确；若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；若直线和不平行，且，所以直线和异面与共面，与共面，可以与平行或
8、相交，可以与平行或相交，但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，至少与和中的一条相交，故D正确；故选：BC【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题11.下列结论正确的是（ ）A. 在中，若，则B. 在锐角三角形中，不等式恒成立C. 在中，若，则为等腰直角三角形D. 在中，若，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【解析】【分析】对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到，利用正
9、弦定理边化角公式得到，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D错误.【详解】对选项A，在中，由，故A正确.对选项B，若，则，又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.对选项C，整理得：.因为，所以，即.所以，即，即，又，所以.故，则为等腰直角三角形，故C正确.对选项D，解得，所以.又因为，故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.12.在中，D，E，F分别是边，中点，下列说法正确的是（ ）A. B. C. 若，则是在的投影向量D. 若点P是线段上的动点，且满足，
10、则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，故A错误.对选项B，故B正确.对选项C，分别表示平行于，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为在上，即三点共线，设，.又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值为.故选
11、项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.三、填空题13.已知复数（i为虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题.14.已知向量夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】首先根据向量数量积的运算律计算，再开根即可.【详解】因为向量夹角为，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，涉及向量数量积的运算律、向量的模，属于基础题.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则
12、的值为_【答案】【解析】【分析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.【详解】，由可得，又，.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，
13、即可得解.【详解】由题意，三棱锥如图所示：取的中点，连接、，由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，连接，则即为该三棱锥的高，即， 所以，又，所以，所以，又，所以三棱锥的表面积；所以该三棱锥的体积,当球与三棱锥内切时，体积最大，设三棱锥的内切球的半径为，则，解得，则.故答案为：；.【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.四、解答题17.如图，正方体中，E，F分别为，中点.（1）求证：E，F，B，D四点共面；（2）若，与平面交于点R，求证：P，Q，R三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1
14、）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证；（2）由题意可得是平面与平面的交线，由平面的基本性质即可得证.【详解】（1）证明：连接，如图：在正方体中，分别为的中点，是的中位线，又因为，四点共面；（2）证明：在正方体中，是平面与平面的交线，又因为交平面于点，是平面与平面的一个公共点.两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，三点共线.【点睛】本题考查了利用平面的基本性质证明点共面及点共线问题，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.18.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足，说明在复平面
15、内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积【答案】（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；（2）根据模的几何意义说明结论【详解】解：（1）因为为纯虚数，所以，即，解得，此时，由韦达定理得，.（2）复数满足，即，不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题19.已知的内角A，B，C的对
16、边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以；（2）因为，由正弦定理可得，故， 所以，因为，所以，由正弦定理可得，.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，掌握正弦定理的边角转换是解题关键20.如图，在三棱锥中，是高，.（1）求三棱锥的体积；（2）求三棱锥的表面积.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由体积公式直接计算；（2）题中有两两垂直，面积易得，然后求出三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得
17、面积【详解】解：（1）因为是高，所以；（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，所以，等腰三角形，所以，所以三棱锥的表面积为.【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积属于基础题21.如图，四边形中，.（1）用表示；（2）若，点在上，点在上，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以作为基底，结合向量的加法运算即可得解；（2）由、推出，再求出PE、CP，即可求得，再由计算即可.【详解】（1）因为，所以；（2）由已知：，得：，在中，在中，又，在中，.【点睛】本题用基底表示向量、向量的线性运算、用向量解决长度的问题，属于中档题.22.如图，在平面四边形中，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中求得，在中由线段关系求得，即可在中应用余弦定理求得的长；（2）设，由正弦定理表示出与的关系，结合同角三角函数关系式，即可求得的值.【详解】（1）在中，.在中，所以，所以.在中，由余弦定理得，所以.（2）设，则，在中，由正弦定理得，化简得，代入，得，又为锐角，所以，即.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，根据几何关系求线段或三角函数值，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.
