1、4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2 B.85cm2 C.96cm2 D.100cm22.如图所示，已知ABCDEF，ABDE=12，则下列等式中，一定成立的是(D). （第2题） （第3题） （第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DEEC=31，连结AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为(B).A.34 B.916 C.91 D.314.如图所示，在ABC中，D是AB边上的一点，
2、若ACD=B，AD=1，AC=2，ADC的面积为1，则BCD的面积为(C).A.1 B.2 C.3 D.45.如图所示，如果ABC与DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么SDEFSABC的值为 2 （第5题） （第6题） （第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，RtABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ABO=90，OA与反比例函数y= (x0)的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10，则k的值为 -16 7.如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，点M为垂足，AM=AB.若四边形ABC
3、D的面积为，则四边形AMCD的面积是 1 .8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm和14cm.（1）若它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长（2）若它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2.9.如图所示，ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与ABC相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画A1B1C1，使得A1B1C1的周长是ABC的周长的2倍，则= 2 （2）在图2中画A2B
4、2C2，使得A2B2C2的面积是ABC的面积的2倍，则= （第9题）【答案】(1)图略 2 (2)图略10.如图所示，在ABC中，P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上.已知BC=2，SABC=1.设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y.（1）求y关于x的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)四边形AFPE是平行四边形，PFCA.BFPBAC.SABC=1，SBFP=.同理SPEC=,y=.(2)上述函数有最大值，最大值为.理由如下：y=-+x=
5、-（x-1）2+，-0，y有最大值.又0x2,当x=1时，y有最大值，最大值为.11.如图所示，D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，且DEAC，AE，CD相交于点O，若SDOESCOA=19，则S，则SBDE与SCDE的比是(B).A.13 B.12 C.14 D.19（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D，E，F，G为ABC两边上的点，且DEFGBC，若DE，FG将ABC的面积三等分，则下列结论正确的是(C).13.如图所示，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE于点G，BG=4，则EFC的周长为(D
6、).A.11 B.10 C.9 D.814.如图所示，在ABC中，C=90，D是BC边上一点，DEAB于点E，ADC=45，若DEAE=15，BE=3，则ABD的面积为 13 15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 .（第15题） （第16题）16.如图所示，M是ABC内-点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则ABC的面积是 36 17.如图所示，已知AD是ABC的角平分线，O经过A，B，D三点.过点B作BEAD，交O于点E，连结ED.（1）求证：EDAC.（2）若BD=2CD，设E
7、BD的面积为S1，ADC的面积为S2，且S21-16S2+4=0，求ABC的面积.（第17题）【答案】(1)AD是ABC的角平分线，BAD=DAC.E=BAD，E=DAC.BEAD，E=EDA.EDA=DAC.EDAC.(2)BEAD，EBD=ADC.又E=DAC，EBDADC，且相似比k=2.=k2=4，即S1=4S2.S12-16S2+4=0，16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.S2=.=3，SABC=.18.如图1所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边
8、为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1，S2，S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 （第18题）【答案】设直角三角形ABC的三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c2=a2
9、+b2.(1)S1=S2+S3.(2)S1=S2+S3.证明:S1=c2，S2=a2，S3=b2，S2+S3= (a2+b2)= c2=S1.S1=S2+S3.(3)当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3.证明：所作的三个三角形相似，,=1.S1=S2+S3.(4)分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1=S2+S3.19.【镇江】点E，F分别在ABCD的边BC，AD上，BE=DF，点P在边AB上，APPB=1n（n1），过点P且平行于AD的直线l将ABE分成面积为S1，S2的两部分，将CDF分成面积为S3，S4的两部分（如图所示）.有下列
10、四个等式：S1S3=1n；S1S4=1（2n+1）；（S1+S4）（S2+S3）=1n；（S3-S1）（S2-S4）=n（n+1）.其中成立的是(B).A. B. C. D.（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DEBC于点E，连结AE，则ABE的面积等于 78 .【解析】在RtABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，BC=25，SABC=ABAC=1520=150.AD=5，CD=AC-AD=15.DEBC，DEC=BAC=90.又C=C，CDECBA.=，即=，解得CE=12.BE=BC-C
11、E=13.SABESABC=BEBC=1325，SABE=150=78.21.如图所示，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿点B到点C方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于点M（1）求证：ABEECM（2）在DEF的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积（第21题）【答案】(1)AB=AC，B=C.ABCDEF，AEF=B.AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE.ABEECM.(2)能.AEF=B=C，AMEC，AMEAEF.AEAM.当AE=EM时，则ABEECM，CE=AB=5.BE=BC-EC=1.当AM=EM时，则MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA.C=C，CAECBA.=.CE=.BE=.BE=1或.(3)设BE=x.ABEECM，.CM=-（x-3）2+.AM=5-CM=（x-3）2+.当x=3时，AM最短为.此时BE=BC，E为BC的中点.AEBC.AE=4.EFAC.EM=AE2-AM2=.SAEM=.
