1、学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？答案当Sn2n1时，annN*是等比数列；当Sn2n11时，annN*，不是等比数列梳理当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？答案设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an
2、2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.梳理等比数列an前n项和的三个常用性质(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)知识点三错位相减法思考在上一节，我们是如何求公比
3、不为1的等比数列an的前n项和Sna1a2an的？答案在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可梳理如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，一般使用如下方法：Sna1b1a2b2anbn，qSna1b1qa2b2qanbnqa1b2a2b3anbn1，得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1，Snd.上述方法称为“错位相减法”类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an()A一定
4、是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列答案B解析当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nN*.a，数列an是等比数列反思与感悟(1)已知Sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S
5、n，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSS2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n
6、)SSSn(S2nS3n)反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.命题角度2不连续n项之和问题例3已知等比数列an的公比q，则等于()A3BC3D.答案A解析a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整
7、体思想能使问题解决过程变得简洁明快跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则_.答案272解析是首项为b2，公比为2的等比数列272.类型三错位相减法求和例4求数列的前n项和解设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1.Sn22.反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法跟踪训练4求和：Snx2x23x3nxn (x0)解当x1时，Sn123n；当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn.
8、综上可得Sn1一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A190B191C192D193答案C解析设最底层灯的盏数为a1，则公比q，n7，由381，解得a1192.2已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A.BC.D答案C解析方法一Snx3n13n，由SnA(qn1)，得，x，故选C.方法二当n1时，a1S1x；当n2时，anSnSn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.3一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为()A180B108C75D63答案D解析由题
9、意得S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3，即S21S143，S2163.4在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_.答案1解析当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由题意知an为等比数列，所以a13k2，所以k1.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lgan构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1
10、或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解40分钟课时作业一、选择题1等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于()A2B.C4D.答案C解析a33S22，a43S32，a4a33(S3S2)3a3，即a44a3，q4，故选C.2设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1B0C1或0D1答案A解析SnSn1an，又Sn是等差数列，an为定值
11、，即数列an为常数列，q1.3在等比数列an中，已知S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90B70C40D30答案C解析S303S10，q1.由得q20q10120.q103，S20S10(1q10)10(13)40.4已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2B2C3D3答案B解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.5设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A.B.C.D.答案B解析an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设a
12、n的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).6数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1，nN*)，则a6等于()A344B3441C45D451答案A解析当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列又a23S13a13，an当n6时，a63462344.二、填空题7等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.答案2解析根据题意得q2.8设
13、等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.答案解析q1，否则23.1q33，q32.9等比数列an中，前n项和为Sn，S32，S66，则a10a11a12_.答案16解析方法一S3，S6S3，S9S6成等比数列，(S6S3)2S3(S9S6)又S32，S66，S914.再由S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，即(S9S6)2(S6S3)(S12S9)，求出S12S916，即a10a11a1216.方法二由S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，此数列首项为S32，公比q2，得S12S922316.10在等比数列an中，已知a26,6a1a330，则前n项和Sn_.答案3(2n1)
14、或3n1解析设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，Sn3(2n1)；当a12，q3时，Sn3n1.三、解答题11已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q，由题意知2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n，nN*.(2)bnn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1，nN*.12中国人口已经出现老龄化
15、与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施问到2036年是否需要调整政策？解(1)当n10时，数列an是首项为45.5，公差为0.5的等差数列
16、，所以an45.50.5(n1)450.5n.当n11时，数列an是以0.99为公比的等比数列又a1050，所以an500.99n10，因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an(2)设Sn为数列an的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54950(10.9910)950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为47.54万因为49，故到2036年不需要调整政策13已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化简得q2q10.解得q.(2)证明若q1，则an的各项均为a，此时amk，ank，alk显然成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk成等差数列
