1、直线与圆的位置关系的应用(习题课)A级基础巩固1如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|12米，拱高|CD|4米，则拱桥的直径为()A15米B13米C9米 D6.5米解析：选B如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2，即r2(r4)262，解得r，所以拱桥的直径为13米2y|x|的图象和圆x2y24所围成的较小区域的面积是()A. B.C. D解析：选D如图，所求面积是圆x2y24面积的.3已知点M(x0，y0)是圆x2y2r2(r0)内异于圆心的点，则直线x0xy0yr2与此圆的交点的个数为()A2 B1C0 D不能确定解析：选C点M(x0，y0)是圆x2y2r2内异于
2、圆心的点，xyr，故直线x0xy0yr2与此圆没有交点4一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：选D由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.5方程 kx2有唯一解，则实数k满足()AkBk(2，2)Ck2Dk2或k解析：选Dy表示单位圆x2y21的上半部分，ykx2表示过定点(0，2)的直线，如图，当
3、直线ykx2在l1，l4的位置或在l2，l3之间时满足条件易求得k22，k32.又由ykx2与圆x2y21相切求得k1，k4.故k2或k.6若直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M，N两点，且M，N关于直线x2y0对称，则实数km_解析：直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M，N两点，且M，N关于直线x2y0对称，直线x2y0是线段MN的中垂线，得k1，解得k2，又圆的方程为x2y22xmy40，圆心坐标为，将代入x2y0，得1m0，解得m1，故km1.答案：17在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_解析：由题
4、意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2xy40相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与已知直线垂直时，圆C的直径最小，又O到直线2xy40的距离d，所以圆的半径最小为，圆C的面积的最小值为Sr2.答案：8已知M(x，y)|y ，y0，N(x，y)|yxb，若MN，则实数b的取值范围是_解析：数形结合法，注意y ，y0等价于x2y29(y0)，它表示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当30)有公共点答案：(3，3 9设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲
5、离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为1(a3，b3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇10.如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐
6、标系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值) B级综合运用11.(多选)如图所示，已知直线l的方程是yx4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为()A6 B8C10 D16解析：选AD设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为，得m或m，该圆运动的时间为6 (s)或
7、16 (s)12若曲线y1 (2x2)与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是_解析：将方程y1(2x2)变形为x2(y1)24(1y3)，它表示以(0，1)为圆心，2为半径的上半圆，yk(x2)4表示过定点A(2，4)，斜率为k的直线，如图所示过点A(2，4)和点B(2，1)的直线AB的斜率kAB.直线方程yk(x2)4变形为kxy2k40，由2得切线AT的斜率kAT.由图知，当直线yk(x2)4在直线AB和切线AT之间变化时，直线与半圆有两个交点，故k.答案：13.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段P
8、Q与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约_秒(精确到0.1)解析：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(10，101.5t)，Q(10，10t)，可得出直线PQ的方程y10t(x10)，圆O的方程为x2y21，由直线PQ与圆O有公共点，可得1，化为3t216t1280，解得0t，而4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒答案：4.414.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都
9、与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A相切根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆形商城A也相切(1)当P距O处4千米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长解：(1)以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)设PQ与圆A相切于点B，连接AB，以1千米为单位长度，则圆A的方程为(x1)2(y1)21，由题意可设直线PQ的方程为1，即bx4y4b0(b2)，因为PQ与圆A相切，所以1，解得b3，故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米(2)设P(a，0)，Q(0，b)(a2，b2)，则直线PQ方程为1，即bxayab0.因为P
10、Q与圆A相切，所以1，化简得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此|PQ| .因为a2，b2，所以ab4，于是|PQ|(ab)2.又ab2(ab)2，解得04，所以ab42，|PQ|(ab)222，当且仅当ab2时取等号，所以PQ最小值为22，此时ab2.故当公路PQ长最短时，OQ的长为2 千米C级拓展探究15如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|ST|.证明：如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则可得圆的方程为x2y24，A(0，2)，B(0，2)，设P(x0，y0)，则xy4.直线AP的方程为yx2，令y0得xR，直线BP的方程为yx2，令y0得xS.切线PT方程为x0xy0y4，由对称性知点T在x轴上，故令y0得xT，|RT|xRxT|2，|ST|xSxT|2.|RT|ST|.
