1、热点题型探究专题限时集训专题九 三角恒等变换与解三角形 题型一|三角变换与求值(1)求值：2cos 10sin 20cos 20_.(2)设 为锐角，若 cos6 45，则 sin2 12 的值为_(3)若 cos(2)1114，sin(2)4 37，042，则 的值为_解题指导(1)利用 103020，然后利用三角恒等变换求解(2)化 2 12为 26 4是关键(3)利用(2)(2)，求出 cos()的值(1)3 (2)17 250(3)3 (1)由 题 意 得：2cos 10sin 20cos 202cos3020sin 20cos 20 3cos 20sin 20sin 20cos 20
2、 3.(2)为锐角且 cos6 45，sin6 35.sin2 12 sin26 4 sin 26 cos 4cos 26 sin 4 2sin6 cos6 22 2cos26 1 23545 22 24521 12 225 7 250 17 250.(3)cos(2)1114且42，sin(2)5 314.sin(2)4 37 且422，cos(2)17.cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)1114175 314 4 37 12.434，3.【名师点评】三角恒等变换的基本思路1.“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如1cos
3、2sin2tan 45等；“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”；2.角的变换是三角变换的核心，如，2，22 2 等.1设，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos _.2 525 依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin245.又，均为锐角，因此 0cos()，注意到45 55 45，所以 cos()45.cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 552 525.2(2016苏锡、常镇调研二)若 tan 12，tan()13，则 tan(2)_.【导学号：91632029】17 tan()13，tan
4、()13.tan(2)tan()tantan 1tantan 131211312 17.3已知 3tan2tan221，sin 3sin(2)，则 tan()_.43 3tan2tan221，tan 2tan21tan2223，由 sin 3sin(2)得 sin()3sin()即 sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin，tan()2tan 43.4已知 sin 213，则 cos24 _.23 cos24 cos2 12sin 21223.题型二|利用正、余弦定理解三角形(1)(2014江苏高考)若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，
5、则 cos C 的最小值是_(2)在ABC 中，已知 2acos Bc，sin Asin B(2cos C)sin2C212，则ABC为_三角形解题指导(1)利用正弦定理得 a 2b2c，然后利用余弦定理及均值不等式求解(2)2acos Bc 边化角 得角的关系代入 sin Asin B2cos Csin2C212化简 求sin A 判断三角形的形状(1)6 24(2)等腰直角(1)由 sin A 2sin B2sin C，结合正弦定理得a 2b2c.由余弦定理得 cos Ca2b2c22aba2b2a 2b242ab34a212b2 2ab22ab234a212b2 2ab22ab 6 24
6、，所以 6 24cos C1，故 cos C 的最小值为 6 24.(2)依题意得 2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin(AB)sin(AB)0，因此 BA，C2A，于是有 sin2A(2cos 2A)cos2A12，即 sin2A(32sin2A)1sin2A1232sin2A2，解得 sin2A12，因此 sin A 22，又 BA 必为锐角，因此 BA4，ABC 是等腰直角三角形【名师点评】解三角形的四种类型及求解方法：1已知两角及一边，利用正弦定理求解；2已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；3已知两边及其夹角，利
7、用余弦定理求解；4已知三边，利用余弦定理求解.1在ABC 中，若 a2，B60，b 7，则 c_.3 由余弦定理 b2a2c22accos B，得 74c22c，解得 c3，或 c1(舍去)2已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sinAsin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_3 因为 a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C 可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，由余弦定理可得 cos Ab2c2a22bc bc2bc12.又 0
8、A，故 A3，又 cos A12b2c242bc2bc42bc，所以 bc4，当且仅当 bc 时取等号，由三角形面积公式知 SABC12bcsin A12bc 32 34 bc 3，故ABC 面积的最大值为 3.3设 G 是ABC 的重心，且 7sin AGA 3sin BGB 3 7sin CGC 0，则角 B 的大小为_3 因为 G 为ABC 的重心，所以GA GB GC 0，因此 7sin A3sin B3 7sin C，由正弦定理 asin A bsin Bcsin C，得 原式等价于 7a3b3 7c，由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac3c26c212，又因为 B 为ABC
9、的内角，故 B3.题型三|解三角形的实际应用(1)(2014全国卷)如图 9-1，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高MN_m.图 9-1(2)如图 9-2 所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 30角的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin _.图 9-2(1)150(2)217
10、 (1)根据题图，知 AC100 2 m.在MAC 中，CMA180756045.由正弦定理得 ACsin 45 AMsin 60AM100 3 m.在AMN 中，MNAMsin 60，MN100 3 32 150(m)(2)连结 BC.在ABC 中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得 BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10 7，再由正弦定理，得BCsinBAC ABsin，sin 217.【名师点评】应用解三角形知识解决实际问题的步骤：1读题.分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；2图解.根据题
11、意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；3建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；4验证.检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.1如图 9-3 所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为 1 km 的两个观察点 C，D，在某天 10：00 观察到该航船在 A 处，此时测得ADC30，3 min 后该船行驶至 B 处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为_ km/min.【导学号：91632030】图 9-366 在ACD 中，有ADsin6045 CDsin180604530，
12、得 AD 312.在BCD 中，有 BDsin 45 CDsin180603045，得 BD1.在ABD 中，有 AB2AD2BD22ADBDcos 603122122 31211232，所以 AB 62，故船速为 66km/min.2如图 9-4，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别是 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，31.73)图 9-460 根据已知的图形可得 AB46sin 67.在ABC 中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得 ABsin 30 BCsin 37，所以 BC2 460.920.6060(m)专题限时集训（十）点击图标进入
