1、考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义。2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。考情分析1本部分是高考中的常考内容，涉及平面向量基本定理的应用，向量的坐标表示及坐标运算。2.命题形式多种多样，题型以选择题、填空题为主，常有创新型的题目出现，属中低档题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变。()(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底。()(3)向量AB与BC的夹角为ABC。()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的。()解析：(
2、1)正确。由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。(2)正确。由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底。(3)错误。两向量的夹角，关键要看起点与方向，AB与BC 的夹角应为ABC 的补角。(4)正确。由平面向量基本定理可知存在唯一实数对，使 ae1e2 故其表现形式唯一。2已知向量OA(1，2)，OB(3,4)，则12AB等于()A(2,3)B(2，3)C(2,3)D(2，3)解析：依题意得ABOB OA(4,6)，12AB12(4,6)(2,3)，选 A。答案：A3已知向量 a(1,1)，b(2，x)，若 ab 与 4b2a 平行，则
3、实数 x 的值是()A2 B0C1 D2解析：依题意得 ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，ab 与 4b2a 平行，3(4x2)6(x1)，由此解得 x2，选 D。答案：D4已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)。若 为实数，(ab)c，则()A.14 B.12C1 D2解析：可得 ab(1，2)，由(ab)c 得(1)4320，12。答案：B5已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_。解析：ab(21，1m)(1，m1)，由(ab)c，得 12(m1)(1)0，即 m1。答案：1知识重温一、必记 3个知识点1平面向量基本定理如果 e1，e
4、2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a_。我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_。不共线1e12e2基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴_的两个单位_i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数x，y，使得 a_，则有序数对(x、y)叫做向量 a 的坐标，记作_，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a(x，y)叫做向量 a 的坐标表示，相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量。同向向量xiyja(x，y)坐标坐标3平面向量的坐标运算(1)已
5、知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB10_，|AB|_。(2)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，ab_，a_，ab(b0)的充要条件是_。(3)非 零 向 量 a (x，y)的 单 位 向 量 为 _ 或 _。(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_。(x2x1，y2y1)x2x12y2y12(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x1y2x2y10 a|a|1x2y2(x，y)x1x2 且 y1y2二、必明 3个易误点1若 a、b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分
6、点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息。3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10。考点一 平面向量基本定理及其应用【典例 1】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD13BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点。设BAa，BCb，试用 a，b 为基底表示向量EF，DF，CD。解析：EFEAABBF16ba12b13ba，DF DE EF16b13ba 16ba。CD CFFD 12b16ba a23b。悟技法
7、用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)合理地选取基底是解题必须具备的意识和能力。用基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决。(2)要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。通一类1如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_。解析：因为APABBPABkBNABk(ANAB)ABk14ACAB(1k)ABk4AC，且APmAB 211AC，所以 1km，k4 211，解得 k 811，m 311。答案：311考点二 平面向量的坐标运算【典例 2】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设ABa，BCb，CA
8、c，且CM 3c，CN 2b。(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标。解析：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)。(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1。(3)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，M 的坐标为(0,20)。又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N 的坐标为(9,2)，MN(9
9、0,220)(9，18)。悟技法向量坐标运算的方法技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用。通一类2已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)解析：12a12，12，32b32，32，故12a32b(1,2)。答案：D3在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)解析：由题意得BD AD ABBCAB(ACAB)AB
10、AC2AB(1,3)2(2,4)(3，5)。答案：B考点三 平面向量共线的坐标表示【典例 3】平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)。回答下列问题：(1)若(akc)(2ba)，求实数 k；(2)设 d(x，y)满足(dc)(ab)且|dc|1，求 d。解析：(1)akc(3,2)k(4,1)(34k,2k)，2ba(2,4)(3,2)(5,2)，34k5 2k2。68k105k.k1613。(2)dc(x，y)(4,1)(x4，y1)，ab(2,4)，(dc)(ab)，x42 y14，即 y12(x4)。又|dc|1，x42y121。把代入，得 5(x4)21，x4 1
11、5。x4 55，y2 55 1或x4 55，y2 55 1。d(4 55，2 55 1)或 d(4 55，2 55 1)。悟技法1根据向量共线的坐标运算求参数的值利用向量共线转化为含参数的方程，解方程可求参数。2利用向量共线的坐标运算求三角函数值利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解。通一类4已知向量 a(1，m)，b(m,2)，若 ab，则实数 m 等于()A 2B.2C 2或 2 D0解析：ab，12mm，解得 m 2。答案：C5已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_。解析：在梯形
12、ABCD 中，DC2AB，DC 2AB。设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)。答案：(2,4)高考模拟1.已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)解析：因为 a(2,4)，b(1,1)，所以 2ab(22(1)，241)(5,7)，选 A。答案：A2(2016揭阳二模)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若AB3a，则点 B 的坐标为()A(7
13、,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14)解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5)。由AB3a,得x16，y59，解得x5，y14。答案：D3(2016许昌模拟)在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21)解析：BC3PC 3(2PQ PA)6PQ 3PA(6,30)(12,9)(6,21)。答案：B4(2016青岛一模)已知向量 a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充
14、分也不必要条件解析：由已知，得 ab(2,2m)。若 m6，则 ab(2，4)，a(ab)成立；若 a(ab)，则 21m22，m6，所以“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选 A。答案：A5(2016安阳调研)已知平面向量 a(2m1,3)，b(2，m)，且 a与 b 反向，则|b|等于()A.10 27 B.52或 2 2 C.52 D2 2解析：因为 a 与 b 反向，所以 a 与 b 共线，所以 m(2m1)230，解得 m2 或 m32。当 m2 时，a(3,3)，b(2，2)，a 与 b 反向，此时|b|2 2；当 m32时，a(4,3)，b2，32，a 与 b 同向，故选 D。答案：D
