1、4.5.1 函数的零点与方程的解【学习目标】课程标准学科素养1结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数；3能够利用零点的存在解决含参问题1.数形结合2.数学运算3.逻辑推理【自主学习】1.函数的零点(1)函数f(x)的零点是使f(x)0的_ _.(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)0根的个数有什么关系？2.函数的零点存在定理(1)条件：函数yf(x)在区间a，b上
2、的图象是_ _，f(a)f(b)0；(2)函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c(a，b)使f(c)0，这个c也就是f(x)0的根思考2：(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？(2)函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.()(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)0.()(3)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点.
3、()【经典例题】题型一求函数的零点(方程的根)例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)总结: 函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1 (1)求下列函数的零点：f(x)x22x3零点为_ _；g(x)lgx2零点为_ _.(2)已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)_ _.题型二判断零点所在的区间例2 f(x)lnxx39的零点所在的区间为( )A(0,1)B(1,2)C(
4、2,3)D(3,4)跟踪训练2 函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是( )A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)题型三函数零点个数的判断例3 函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1，x2，且x1x2，则( )Ax12,2x22且x25Cx15D2x15跟踪训练3 若x0是方程()xx的根，则x0属于区间( )A(，1)B(，)C(，)D(0，)题型四一元二次方程根的分布问题例4 已知函数f(x)x22mx3m4.(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；(2)若f(x)有两个零点，且均比1大，求m的取值范围跟踪训练4 函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求
5、实数a的取值范围【当堂达标】1函数f(x)4x6的零点是( )AB(，0)CD2 函数f(x)x2log2x，则f(x)的零点所在区间为( )A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)3若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是( )Aa1Ba1Ca1Da14已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个C4个 D5个5函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1C2 D36. 方程2|x|x2的实根的个数为 .7. 已知mR时，函数f
6、(x)m(x21)xa恒有零点，求实数a的取值范围【参考答案】【自主学习】实数x 思考1 (1)不是，是使f(x)0的实数x，是方程f(x)0的根连续不断的曲线 思考2 (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数(2)不一定，如f(x)x2在区间(1,1)上有零点0，但是f(1)f(1)1110.【小试牛刀】【经典例题】例1 解析(1)令x24x40，解得x2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x2.(2)令0，解得x1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x1.(3)令4x50，显然方程4x50无实数根，所以函数f(x)不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数f(x)存在零点，
7、且零点为x0.跟踪训练1 解析(1)f(x)(x3)(x1)，令f(x)0，得x11，x23，f(x)的零点为3和1，由lgx20得，lgx2，x.故g(x)的零点为.(2)由条件知，f(1)ab46.例2 C 解析f(1)1980，f(2)ln289ln210，f(2)f(3)0，函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)跟踪训练2 解析f(2)e222e2440，f(1)e11230，f(0)e02120，f(0)f(1)0，函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)例3 C 解析作出函数g(x)(x2)(x5)的图象如图，将yg(x)的图象向下平移1个单位即得yf(x)的图象，由图象易知
8、x15，故选C跟踪训练3C 解析构造函数f(x)()xx，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(0)()0010，f()()()0，f()()()0，f()()()0，f(1)10，结合选项，因为f()f()0，故函数f(x)的零点所在的区间为(，)，即方程()xx的根x0属于区间(，)例4 解析(1)由题意可知方程x22mx3m40有两个相等实数根，4m24(3m4)0，即m23m40，m1或m4.(2)由题意得，解得5m1.实数m的取值范围是(5，1)总结：解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解跟踪训练4 解由f(x
9、)0得a12|x|x2，因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点，画出函数y2|x|x2的图象，如图所示，观察图象可知，0a11，所以1a2.【当堂达标】1. C 解析令4x60，得x，函数f(x)4x6的零点是.2. B 解析f(1)1log211，f(2)log221，f(1)f(2)0，故选B3. B 解析函数f(x)x22xa没有零点，即方程x22xa0没有实数根，所以44a0，得a1.4. B 解析：由题表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间1,6
10、上至少有3个零点5. B 解析：由f(x)2xx32得f(0)10，f(0)f(1)0.又y12x，y2x3在(0,1)上单调递增，f(x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点，故选B.6. 2 解析：由2|x|x2得2|x|2x.所以方程2|x|x2的实根的个数就是函数f(x)2|x|与g(x)2x图象交点的个数在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象(略)，由图知，两个函数的图象有两个交点，即原方程有两个实数解7.解：(1)当m0时，由f(x)xa0，得xa，此时aR.(2)当m0时，令f(x)0，即mx2xma0恒有解，即114m(ma)0恒成立，即4m24am10恒成立，则2(4a)24410，即1a1.所以对mR，函数f(x)恒有零点时，实数a的取值范围是1,1
