1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积8.1.1向量数量积的概念栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义(难点)2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.两个向量的夹角给定两个非零向量a，b，在平面内
2、任选一点O，作 OA a，OBb，则称0，内的 为向量a与向量b的夹角，记作_(1)两个向量夹角的取值范围是，且a，b(2)当a，b_时，称向量a与向量b垂直，记作.AOB0，b，a2aba，b栏目导航栏目导航5 2.向量数量积的定义一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称为向量a 与 b 的数量积(也称为内积)，即 ab(1)当a，b0，2 时，ab0;当a，b2时，ab0；当a，b2，时，a b0.|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b 栏目导航栏目导航6(2)两个非零向量 a，b 的数量积的性质：不等式|ab|_|a|b|恒等式aaa2_，即|a|向量垂直的充要条件ab _0|a
3、|2aaab栏目导航栏目导航7 3.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l，则向量a 在直线 l 上的投影称为 a 在向量 b 上的投影(2)一般地，如果 a，b 都是非零向量，则为向量 a 在向量 b 上的投影的数量(3)两个非零向量 a，b 的数量积 ab，等于 a 在向量 b 上的_与 b 的模的乘积这就是两个向量数量积的几何意义|a|cos a，b投影的数量栏目导航栏目导航8 1.已知|a|3，向量 a 与 b 的夹角为3，则 a 在 b 方向上的投影为()A3 32 B3 22 C12 D32D 向量 a 在 b 方向上的投影为|
4、a|cosa，b3cos 332.故选D栏目导航栏目导航9 2.在ABC 中，ABa，BCb，且 ba0，则ABC 是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定C 在ABC 中，因为 ba0，所以 ba，故ABC 为直角三角形栏目导航栏目导航10 3.如图，在ABC 中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为_互补 根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为BAC，而向量CA，AB夹角为 BAC，故二者互补栏目导航栏目导航11 4如图所示，一个大小为 5 N，与水平方向夹角 37的拉力 F 作用在小车上，小车沿水平方向向右运动运动过程中，小车受到的阻力大小为 3 N，方向水平向左小车
5、向右运动的距离为 2 m 的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化求在此过程中：拉力 F 对小车做的功(取 cos370.8)为_小车克服阻力做的功为_栏目导航栏目导航12 8 J 6 J 拉力 F 对小车做的功 WFFScos 520.8 J8 J，小车克服阻力做的功为 W 克 fWf32 J6 J栏目导航栏目导航13 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航14 平面向量的夹角【例 1】(1)(2019东营高一检测)已知向量|a|2，|b|3，且 ab3，则a，b()A6 B23 C34 D56(2)已知ABC 中，AB4，BC2，ABBC4，则向量BC与CA的夹角为_，向量AB与CA
6、的夹角为_栏目导航栏目导航15 思路探究(1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角(2)先由向量的数量积公式计算 B，再由平面几何性质计算ACB，BAC，最后求向量的夹角 栏目导航栏目导航16(1)D(2)90 150 (1)因为向量|a|2，|b|3，且 ab3，所以 cos a，b ab|a|b|32，又a，b0,，所以a，b56.栏目导航栏目导航17(2)在ABC 中，因为 AB4，BC2，ABBC4，所以|AB|BC|cos AB，BC4，得 42cos(B)4，所以 cos B12，得B60.如图，延长 BC 到 D，使 CDBC，则ABD为等边三角形，所以 ACBC，BAC3
7、0，所以向量BC与CA的夹角为 90，AB与CA的夹角为 150.栏目导航栏目导航18 求平面向量的夹角的方法技巧 1已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算 cos a，b ab|a|b|，若是特殊角，再求向量的夹角.2在ABC 中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.栏目导航栏目导航19 1.若两个单位向量的数量积等于1，则这两个单位向量的夹角为()A0 B2 C23 DD 设两个单位向量分别为 e1，e2，则 e1e2cos e1，e21，由于e1，e20,，所以e1，e2.栏目导航栏目导航20 2.已知 a 是单位向量
8、，且 3ab|b|，则 sina，b_.2 23 因为 a 是单位向量，且 3ab|b|，则 3|a|b|cos a，b|b|，得 cos a，b13，又 sin2a，bcos 2a，b1，得 sin2a，b89.又 0a，b，得 sina，b2 23.栏目导航栏目导航21 与向量数量积有关的概念【例 2】(1)以下四种说法中正确的是_(填序号)如果 ab0，则 a0 或 b0；如果向量 a 与 b 满足 ab0，则 a 与 b 所成的角为钝角；ABC 中，如果ABBC0，那么ABC 为直角三角形；如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2b2.(2)已知等腰ABC 的底边 BC 长为 4
9、，则BABC_.栏目导航栏目导航22 思路探究 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答 栏目导航栏目导航23(1)(2)8(1)由数量积的定义知 ab|a|b|cos(为向量 a，b 的夹角)若 ab0，则 90或 a0 或 b0，故错；若 ab0，则 为钝角或 180，故错；由ABBC0 知 B90，故ABC 为直角三角形，故正确；由 a2|a|21，b2|b|21，故正确 栏目导航栏目导航24(2)如图，过点 A 作 ADBC，垂足为 D 因为 ABAC，所以 BD12BC2，于是|BA|cosABC|BD|12|BC|1242，所以BABC|BA|BC|cosABC428.栏目导
10、航栏目导航25 1.在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 ab|a|b|cos.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 ab.栏目导航栏目导航26 3.给出下列判断：若 a2b20，则 ab0；已知 a，b，c是三个非零向量，若 ab0，则|ac|bc|；a，b 共线ab|a|b|；|a|b|0，则 a 与 b 的夹角为锐角；若 a，b 的夹角为，则|b|cos 表示向量b 在向量 a 方向上的投影长其中正确的是_(填序号)栏目导航栏目导航
11、27 由于 a20，b20，所以，若 a2b20，则 ab0，故正确；若 ab0，则 ab，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 acbc，所以|ac|bc|，故正确；a，b 共线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab，所以不正确；对于，应该是 aaa|a|2a，所以不正确；栏目导航栏目导航28 a2b22|a|b|2ab，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0时，也有 ab0，因此错；|b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的正投影的数量，而非投影长，故错综上可知正确栏目导航栏目导航29 平面向量数量积的几何意义【例 3】(1)(2019永州高一检测)已知向量 b 的模为 1
12、，且 b 在 a方向上的投影的数量为 32，则 a 与 b 的夹角为()A30 B60 C120 D150(2)已知平面向量|a|2，|b|6 且 ab4，则 a 在 b 上投影的数量为_，b 在 a 上投影的数量为_栏目导航栏目导航30 思路探究(1)向量 b 在 a 方向上的投影的数量为|b|cos a，b，再求向量的夹角(2)先由平面向量数量积的公式计算 cos a，b，再计算投影的数量 栏目导航栏目导航31(1)A(2)23 2(1)因为向量 b 的模为 1.且 b 在 a 方向上的投影的数量为 32，则|b|cos a，b 32，得 cos a，b 32，因为a，b0,，所以a，b6
13、30.栏目导航栏目导航32(2)因为平面向量|a|2，|b|6 且 ab4，所以|a|b|cos a，b4，得 cos a，b13.所以 a 在 b 上投影的数量为|a|cos a，b23，b 在 a 上投影的数量为|b|cos a，b2.栏目导航栏目导航33 关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 1向量 a 在 b 所在直线上的投影是一个向量，向量 a 在 b 所在直线上的投影的数量是一个实数.2向量 a 在向量 b 上的投影的数量是|a|cos a，b，向量 b 在向量 a 上的投影的数量是|b|cosa，b，二者不能混为一谈.栏目导航栏目导航34 4(2019青岛高一检测)如图，圆
14、心为 C 的圆的半径为 r，弦 AB的长度为 2，则 ABAC的值为()Ar B2r C1 D2栏目导航栏目导航35 D 如图，作 AB 的中点 H，连接 CH，则向量AC在AB方向上的投影的数量为 AH|AC|cos CAB，所以ABAC|AB|AC|cos CAB|AB|AH|2.栏目导航栏目导航36 5已知向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|3，则 ab_.6 因为向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|3，则 ab|a|b|cos a，b(|a|cos a，b)|b|236.栏目导航栏目导航37 1.对正投影的三点诠释(1)ab 等于|a|与 b 在 a 方向上
15、的正投影的乘积，也等于|b|与 a 在b 方向上的正投影的乘积其中 a 在 b 方向上的正投影与 b 在 a 方向上的正投影是不同的(2)b 在 a 方向上的正投影为|b|cos (是 a 与 b 的夹角)，也可以写成ab|a|.(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零栏目导航栏目导航38 2.知识导图物理背景向量数量积概念公式几何意义与变形公式栏目导航栏目导航39 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航40 1.已知平面向量|a|2，|b|3，a，b3，则 ab()A2 B3 C6 D0B 因为|a|2，|b|3，a，b3，则 ab|a|b|cos 323123.
16、栏目导航栏目导航41 2.已知平面向量|a|1，|b|2，则 a2b2()A2 B3 C5 D5C 因为|a|1，|b|2，所以 a2b2|a|2|b|25.栏目导航栏目导航42 3.已知向量|a|6，|b|2，向量 a，b 的夹角为 120，则向量 a在 b 上的投影的数量为()A1 B3 C1 D3D 根据向量数量积的几何意义，向量 a 在 b 上的投影的数量为|a|cos 120612 3.栏目导航栏目导航43 4已知等腰直角三角形 ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，则 CD和 AC 的夹角为_，CD 和AC的夹角为_45 135 等腰直角三角形 ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，则CDAB,CD 和 AC 的夹角为 45，CD 和AC的夹角为 135.栏目导航栏目导航44 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!
