1、山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 6.2 算术平均数与几何平均数山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.2算术平均数与几何平均数双基研习面对高考 山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回双基研习面对高考 基础梳理1基本不等式若 a，bR，则 a2b2_2ab，当且仅当_时取“”号2均值不等式如果 a，b 是_，那么ab2_ ab，当且仅当 ab
2、 时取“”号这一定理又可叙述为：两 个 正 数 的 _ 不 小 于 它 们 的_ab正数算术平均数几何平均数山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 3利用均值不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y(0，)，且 xyp(定值)，那么当 xy 时，xy 有最_值_.(2)如果 x，y(0，)，且 xys(定值)，那么当 xy 时，xy 有最_值_.小大2 ps24山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回思考感悟1不等式 a2b22ab 与 ab2 ab成立
3、的条件为什么会有变化？提示：两个不等式是通过换元转化过来的，即设 a2x，b2y，则 a2b2xy，ab xy(取算术根)a2b22ab 变为 xy2 xy，其中 xa20，yb20.ab2 ab成立的条件为 a0，b0.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2利用均值不等式求最值应注意什么条件？提示：利用均值不等式求最值，一定要注意使用的条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战
4、高考 返回课前热身答案：D 1(教材练习 2 改编)已知 ab0，a，bR，则下列式子总能成立的是()A.baab2 B.baab2C.baab2 D|baab|2山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2下列函数中，最小值为 4 的函数是()Ayx4xBysinx 4sinx(0 x1 时，关于函数 f(x)x 1x1，下列叙述正确的是()A函数 f(x)有最小值 2 B函数 f(x)有最大值 2C函数 f(x)有最小值 3 D函数 f(x)有最大值 3山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高
5、考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 4当 x(0,1时，2x4x的最小值为_5若 x2y1，则 3x9y的最小值是_答案：7答案：2 3山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回考点探究挑战高考 考点突破 利用均值不等式证明不等式证明不等式时，可依据求证两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证参考本节教材例2.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回例1 证明：若 a1，a2 是正实数，则有a21a2a22a1a1a2.【思路分析】左边为
6、“分式”形式，右边为“整式”形式，可由a21a2a22a1来转化【证明】因为 a1，a2是正实数，所以a21a2a22a1，a22a1a12a2，故a21a2a2a22a1a12a12a2，即a21a2a22a1a1a2.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【领悟归纳】利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式，关键是所证不等式中必须具有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用定理时等号能否取到 山东水浒书业
7、有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回互动探究1 请你把上述不等式推广到一般情形，并证明你的结论解：推广：若 a1，a2，an都是正实数，则有a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.证明如下：因为 a1，a2，an都是正实数，山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回所以a21a2a22a1，a22a3a32a2，a2n1an an2an1，a2na1a12an，故a21a2a2a22a3a3a2n1an ana2na1a12(a1a2an)，即
8、a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回利用均值不等式求最值合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值参考教材例1.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回求下列各题的最值(1)x0，求 f(x)12x 3x 的最小值；(2)x0，y0，lgxlgy1，求 z2x5y的最小值例2山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向
9、量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思路分析】(1)由 x0，12x 3x36 是常数，故可直接利用均值不等式；(2)因 4x3x 不是常数，故需变形f(x)4x3x33，又 x30，f(x)12x 3x2 12x 3x12，等号成立的条件是12x 3x，即 x2，f(x)的最小值是 12.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回(2)x3，x30，f(x)4x3x 4x3(x3)343x(3x)32 43x3x31，当且仅当 43x3x，即 x1 时，等号成立故 f(x)的最大值为1.山东水浒书
10、业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回(3)由已知条件 lgxlgy1，可得 xy10.则2x5y2y5x102 10 xy102.(2x5y)min2.当且仅当 2y5x，即 x2，y5 时等号成立山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回变试训练 2 已知 x0，y0，且 xy1，求4x9y的最小值解：x0，y0，xy1，4x9y(xy)(4x9y)134yx 9xy1324yx 9xy 25，山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面
11、对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回当且仅当4yx 9xy 时等号成立，由xy1，4yx 9xy，得 x25，y35，当 x25，y35时取等号所以4x9y的最小值为 25.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回在实际应用问题中求最值时，应先将要求最值的量表示为某个变量的函数，然后利用不等式的知识和方法求出该函数的最值，参考教材本章的引言利用均值不等式解决实际问题山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回例3如图所示，将一矩形花坛ABCD扩
12、建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD2米(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【解】(1)设 ANx 米(x2)，则 NDx2.NDDCANAM，x23 xAM，AM 3xx2，3xx2x32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x8.【思路分析】设ANx，求出AM，建立不等式求x，构造适合均值不等式的形式 山东水浒书业
13、有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回(2)S 矩形 AMPN 3x2x23x2212x212x23(x2)12x2122 361224，当且仅当 x4 时取“”故当 AN 为 4 米时，S 矩形 AMPN 最小，最小值为 24 平方米山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思维总结】把(x2)视为一个整体，用均值不等式求最小值 山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回互动探究3 若AN的
14、长度不小于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积 解：由(2)得 S 矩形 AMPN3(x2)12x212(x6)，令 x2t(t4)，则 S 矩形 AMPN3t12t 12(t4)设 f(t)3t12t 12(t4)山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回f(t)312t2，当 t4 时，f(t)0，函数 f(t)在4，)上单调递增，f(t)minf(4)27，此时 x6.故当 AN6 米时，矩形 AMPN 的面积最小为27 平方米山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研
15、习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回方法技巧1运用均值不等式的技巧：在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”(条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的一边必须为一定值)、“等”(等号取得的条件)的条件，如例2.方法感悟山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2均值不等式的几种变形公式对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：2abab abab2 a2b22(a0，b0)山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面
16、向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回失误防范1a2b22ab 成立的条件是 a，bR，而ab2 ab成立，则要求 a0 且 b0.使用时，要明确定理成立的前提条件2连续使用以上两个公式中的任一个，或两个，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回3函数 yaxbx(a0，b0 为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“三相等”时如例 3 及探究山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛
17、书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回考向瞭望把脉高考 考情分析均值不等式是一个用途广泛的重要不等式，因而高考中作为重要考点久考不衰、常考常新均值不等式具有“和与积”相互转化的放缩功能，备受命题者的青睐，试题既有选择题、填空题，又有实际应用题客观题常常为单独命题的形式，其“干净利落”又不断出新，尤其与函数结合求最值，题目难度中档偏下山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2010年的高考中，几乎各地方试题，都对此进行了考查，如大纲全国卷文理第11题在平面图形中，结合向量、三角函数，利用
18、均值不等式求最值，重庆理第7题针对二次函数求最值等难度适中2012年高考将以选择题、填空题形式出现，考查学生运用均值不等式求最值的能力，对实际应用也不容忽视山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回命题探源例(2010 年高考四川卷)设 ab0，则 a2 1ab1aab的最小值是()A1 B2C3 D4山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【解析】a2 1ab1aaba2abab 1ab1aaba(ab)1aabab 1ab224.当且仅当 a(ab)
19、1 且 ab1，即 a 2，b 22时取等号【答案】D 山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【名师点评】本题的考查目的很明显，就是均值不等式求最值考生都知道解题的入手点是通过拆项或补项使之成为能适合均值不等式的表达式，这也是本题的难点如果考生对本章教材中复习参考题六 B 组的第 3 题：“已知 ab0，求a216bab的最小值”解答理解，山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回那么解答这个题也应该很轻松这两个题目，无论在题型和解答方法都是相同的，尤
20、其对“”连续成立时条件的使用，考查了学生“举一反三”的应变能力既不是难题，又有新意，是一个考查基础与能力的好题山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回名师预测1圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20(a，bR)对称，则 ab 的取值范围是()A(，14)B(0，14)C(14，0)D(，14)解析：选 A.由题可知直线 2axby20 过圆心(1,2)，故可得 ab1，又因 ab(ab2)214，故选 A.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考
21、 返回2已知ABC 中，点 D 是 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点，若AB AE(0)，A C AF(0)，则14的最小值是()A9 B.72C5 D.92山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回解析：选 D.由题意得，A B A C 2AD AEAF AD 2AE 2 A F，又 D、E、F 在同一条直线上，可得221.所以1422(14)522 252292，当且仅当 2 时取等号山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑
22、战高考 返回3已知双曲线x2a2y2b21 与双曲线y2b2x2a21，设连接它们的顶点构成的四边形的面积为 S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为 S2，则S1S2的最大值为()A4 B2C.14D.12山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回解析：选 D.四个顶点分别为(a,0)，(0，b)，(a,0)，(0，b)，它们构成菱形，则 S12ab.四个焦点分别为(c,0)(0，c)，(c,0)，(0，c)，它们构成以 2c 为边长的正方形，所以 S22c22(a2b2)4ab，等号当且仅当 ab 时成立，S1S22ab2a2b22ab4ab12，故选 D.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第5章 平面向量双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回4不等式 x1x13 成立的充要条件是_解析：不等式 x 1x13 成立，等价于 x1 1x12 成立，等价于 yx1 1x1有最小值 2，所以要使上式成立需满足 x10，且(x1)21 有解，即 x2 时取到最小值，所以 x 1x13 成立的充要条件为 x1.答案：x1本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
