1、-1-1 椭 圆-2-1.1 椭圆及其标准方程-3-第1课时 椭圆及其标准方程目标导航 1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、焦点、焦距的定义.2.掌握求解椭圆标准方程的方法.3.理解参数a,b,c的几何意义.知识梳理 1.椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.名师点拨1.集合语言叙述为:点集P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|,其中两定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距.2.根据椭圆的定义可知:椭圆上的点M满足集合P=M|
2、MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,a0,c0,且a,c都为常数.当ac即2a2c时,集合P为椭圆.当a=c即2a=2c时,集合P为线段F1F2.当ac即2a0,常数),命题乙:点P的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:若点P的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a0,常数),故甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a0,常数)是不能推出点P的轨迹是椭圆的.这是因为仅当2a|AB|时,点P的轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,点P的轨迹是线段AB;当2ab0)a2=b2+c2(
3、ab0)焦点在y 轴上 F1(0,-c),F2(0,c)x2b2+y2a2=1(ab0)知识梳理 名师点拨1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心为坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.2.由椭圆的标准方程判断其焦点的位置:椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.知识梳理 A.-4m4且m0 B.-4m4或m-4 D.0m4 答案:B【做一做 2-1】已知椭圆的方程为 216+22=1,焦点在轴上,则的取值范围是()知识梳理【做一做 2-2】若椭圆方程为 24+22=1,则椭圆的焦点坐标是_.解析:当-2m2
4、且 m0 时,焦点坐标为(4-2,0);当 m2 时,焦点坐标为(0,2-4).答案:(4-2,0)或(0,2-4)典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 椭圆定义的应用 【例 1】(1)椭圆225+29=1 上一点到一个焦点的距离为 5,则到另一个焦点的距离为()(2)已知 F1,F2 是椭圆216+29=1 的两焦点,过点2的直线交椭圆于,两点,在AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为 .A.5B.6C.4D.10 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解析:(1)点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,故P到另一个焦点的距离为10-5=5.(2)由已知a2=16,
5、得a=4.从而由椭圆定义,得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,又AF1B的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=4a=16,已知三角形有两边之和为10,故第三边的长度为6.答案:(1)A(2)6 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面
6、积,若已知F1PF2,可利用把|PF1|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.S=12 sin C 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】设 F1,F2 是椭圆 216+212=1 的两个焦点,是椭圆上一点,且|1|2|=2,则PF1F2 是()A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形 解析:由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=8,又|PF1|-|PF2|=2,|PF1|=5,|PF2|
7、=3.|F1F2|=2c=4,且|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,PF1F2为直角三角形.答案:B 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 已知焦点位置求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).分析:求椭圆的标准方程,因为已确定椭圆的焦点位置,可直接设椭圆的标准方程.经过点 -32,52;典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)椭圆的焦点在 y 轴上,设所求椭圆的标准方程为 22+22=1(0).由椭圆定义知2a=-32 2+52+2 2+-
8、32 2+52-2 2=2 10,即 a=10,又 c=2,b2=a2-c2=6,所求椭圆的标准方程为 210+26=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求椭圆的标准方程时,关键是确定椭圆焦点的位置,由a,b,c间的关系求出a,b,c的值,一般步骤简记为:定位置设方程寻关系得方程(2)椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为 22+22=1(0).椭圆经过点(0,2)和(1,0),42+02=1,02+12=1,2=4,2=1.故所求椭圆的标准方程为 24+2=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练2】求经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆
9、方程.解:椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,5),则可设所求椭圆的方程为 2+2+5=1(0).把 x=2,y=-3 代入,得 4+9+5=1,解得=10 或=-2(舍去).故所求椭圆的方程为 210+215=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 求焦点不确定的椭圆的方程【例 3】已知椭圆过点 P(-2 3,1),(3,2),求椭圆的标准方程.分析:因为椭圆焦点不确定,所以需分焦点在x轴上和在y轴上两种情况求解.解:方法一:若椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为 22+22=1(0),将点 P(-2 3,1),(3,2)代入,得 122+12=1,32+42=1,解得 2=
10、15,2=5.则椭圆的标准方程为 215+25=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 若椭圆的焦点在 y 轴上,设所求椭圆的标准方程为 22+22=1(0),将点 P(-2 3,1),(3,2)代入得 122+12=1,32+42=1,解得 2=15,2=5,不满足题意.故所求椭圆的标准方程为 215+25=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思当椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0且mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母,不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.方法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,且
11、mn).椭圆经过点 P(-2 3,1),(3,2),将点 P(-2 3,1),(3,2)代入椭圆方程,得 12+=1,3+4=1,解得 =115,=15.故所求椭圆标准方程为215+25=1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练3】已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若MF2N的周长为8,则椭圆方程为()解析:F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,c=1.又根据椭圆的定义,MF2N的周长=4a=8,得a=2.A.24+23=1 B.24+23=1C.216+215=1 D.216+215=1进而得 b=3,椭圆方程为
12、24+23=1.故答案为A.答案:A 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 未注意焦点位置而致误【例 4】若椭圆 225+22=1(0)的焦距为 6,求的值.错解:由题意,知2c=6,c=3.又a2=25,b2=m2,25=m2+9,m2=16.m=4.错因分析:本题中,椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,故应分类讨论.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:由题意,知2c=6,c=3.当椭圆的焦点在x轴上时,由椭圆标准方程,知a2=25,b2=m2,又m0,故m=4;当椭圆的焦点在y轴上,由椭圆的标准方程,知a2=m2,b2=25,a2=b2+c2,m2=2
13、5+9=34,又 m0,故 m=34.由此可得 m 的值为 4或 34.123451.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a0),则动点P的轨迹是()A.椭圆B.线段 C.椭圆或线段或不存在D.不存在 答案:C 123452.已知椭圆 2+216=1 上的一点到椭圆一个焦点的距离为 3,到另一焦点距离为 7,则等于()A.10B.5C.15D.25 解析:由题意,得2a=10,a=5.则m=a2=25.答案:D 123453 已知椭圆过点 35,-4 和点 -45,3,则此椭圆的标准方程是()A.225+2=1B.225+2=1或2+22
14、5=1C.225+2=1D.以上都不对 解析:设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0),由题意,得 925 +16=1,1625 +9=1,解得 =1,=125.故椭圆的标准方程为 225+2=1.答案:A 123454.若方程 22-+22-1=1 表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是_.解析:由题意得 2-0,2-1 0,解得1k 0),且可知左焦点为F(-2,0),从而有 =2,2=|+|=3+5=8,解得 =2,=4.所以 b2=12,故椭圆 C 的标准方程为 216+212=1.方法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 22+22=1(0),且有 42+92=1,2-2=4,解得2=12 或 b2=-3(舍去),从而 a2=16.所以椭圆 C 的标准方程为 216+212=1.
