1、第二章 平面向量 7 向量应用举例 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养自 主 预 习 探 新 知 向量应用举例(1)点到直线的距离公式若 M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线 l：AxByC0 的距离为：d_(2)直线的法向量定义：称与直线的方向向量_的向量为该直线的法向量公式：设直线 l：AxByC0，
2、取其方向向量 v(B，A)，则直线 l 的法向量 n_|Ax0By0C|A2B2垂直(A，B)(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在_中的应用；二是在_中的应用几何物理思考：向量的数量积与功有什么联系？提示 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积1直线2xy10的一个法向量是()A(2，1)B(1，2)C(1，2)D(2，1)答案 D2若向量OF1(1，1)，OF2(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(5，0)B(5，0)C 5D 5答案 C3点P0(1，2)到直线l：2xy100的距离为_答案 2 54已知F(2，3
3、)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为_答案 4合 作 探 究 释 疑 难 平面几何中的垂直问题【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明 法一：设AD a，ABb，则|a|b|，ab0.又DE DA AEab2，AFABBFba2，所以AFDE ba2 ab212a234abb22 12|a|212|b|20.故AFDE，即AFDE.法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则AF(2，1)，DE(1，2).因为AFDE(2，1)(1，2)
4、220.所以AFDE，即AFDE.利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，从而可求：AC(2a，a)，BD(a，2a)，不妨设AC、BD的夹角为，则cos ACBD|AC|BD|（2a，a）（a，2a）5a 5a4a25a2 45.故所求钝角的余弦值为45.向量在物理中的应用【例2】两个力F1i
5、j，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功解 AB(720)i(015)j13i15j.(1)F1做的功W1F1sF1AB(ij)(13i15j)28.F2做的功W2F2sF2AB(4i5j)(13i15j)23.(2)FF1F25i4j，所以F做的功WFsFAB(5i4j)(13i15j)5.1用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系2速度、加速度、位移、力的
6、合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则3在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一2某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？解(1)如图，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为 OA OBOC，根据勾股定理，|OC|8，且在RtACO
7、中，COA60，故此人实际沿与水速夹角60的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA.实际速度游速水速，故游速为OB OA AB，在RtAOB中，|AB|4 3，|OA|4，|OB|4 2.cos BAO 33，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.向量在解析几何中的应用探究问题1教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d|PM n0|?提示 如图所示，过M作MNl于N，则d|NM|.在RtMPN中，|NM|是PM 在NM 方向上的射影的绝对值，则|NM|PM|cos PMN|PM|1cos
8、 PMN|PM|n0|cos PMN|PM n0|，d|PM n0|.2你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算【例3】已知圆C：(x3)2(y3)24，及点A(1，1)，M是C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA 2AN，求点N的轨迹方程思路探究 要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解解 设N(x，y)，M(x0，y0)，由MA 2AN，得(1x0，1y0)2(x1，y1)，1x02（x1），1y02（y1）.即x032x，y032y，代入C方程，得(32x3)2(32y
9、3)24，即x2y21.点N的轨迹方程为x2y21.将例3的条件变为“已知直线l过点A(1，1)，且它的一个法向量为n(2，1)”试求直线l的方程解 直线l的一个法向量为n(2，1)，直线l的一个方向向量为(1，2).直线l的斜率为2.直线l的点斜式方程为y12(x1).整理得2xy10.故直线l的方程为2xy10.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质课 堂 小 结 提 素 养
10、1用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键2用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解(3)要将数学问题还原为物理问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)ABC是直角三角形，则ABBC0.()(2)若ABCD，则直线AB与CD平行()(3)向量AB，CD 的夹角与直线AB，CD的夹角相等或互补()(4)直线ykxb的一个法向量是(k，1).()答案(1)(2)(3)(4)D l 的方向向量 v(1，5)，
11、由 v 与 p 平行得：5(k1)2k3.解得 k83.2已知直线 l：5xy70，向量 p(k1，2k3)，且 pv(向量 v 为 l 的方向向量)，则 k 的值为()A73 B136C163D83x2y2x3y0 设P(x，y)为圆上任一点，则AP(x1，y2)，BP(x2，y1)，由APBP(x1)(x2)(y2)(y1)0，化简得x2y2x3y0.3已知A(1，2)，B(2，1)，以AB为直径的圆的方程是_.4正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos DOE的值解 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD 1，12，OE 12，1，故cos DOE OD OE|OD|OE|11212152 5245.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
