1、n次方根与分数指数幂教学设计（一）教学内容n次方根与分数指数幂（二）教学目标1经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养2了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化3理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养（三）教学重点、难点教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质（四）教学过程设计问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方
2、面？（3）这些函数可以解决哪些实际问题？师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景概念图象和性质应用”的路径进行研究需要研究它们的概念、图象、性质（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；地震的强度单位里氏震级是对地震时释放的能量用对数进行换算的举例时尽量突出指数增长的爆炸性特点，对数增长的缓慢性特点设计意图：明确本章研究的内容、
3、方法、实际应用背景，为本章的学习指明方向问题2：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？师生活动：学生回答，教师进行归纳正整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作c=S12，因此猜测，指数的范围还能进一步拓展设计意图：通过复习整数指数幂，体会指数运算来源于数的自乘运算，这种指数幂的表示在形式上更加简洁，说明指数幂运算产生的必
4、要性，以便引出数的n次方根运算与分数指数幂的关系问题3：初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根由此可以得出n次方根的概念吗？师生活动：先由学生举例，并进行归纳、抽象，然后由教师进行讲解（1）学生举例：(2)4=16，我们把2叫做16的4次方根；25=32，我们把2叫做32的5次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*追问1：在实数范围内，负数有没有偶次方根？为什么？在实数范围内，负数没有偶次方根因为任何实数的偶数次方幂都
5、是正数，从而负数的偶数次方根找不到对应的实数如果要讨论负数的偶次方根，就必须将数域从实数再进行扩充，此时暂不做讨论追问2：观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？当n为偶数时，被开方数是非负数；正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；正数a的正的n次方根用na表示，负的n次方根用-na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并写成na当n为奇数时，被开方数是实数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用na表示式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数追问3：0的n次方根该如何定义？0的任何次方根都是0，记作n0=0
6、设计意图：引导学生由特殊到一般，由具体到抽象，形成n次方根的定义问题4：(na)n=a一定成立吗？nan表示an的n次方根，nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？师生活动：学生通过举例，并结合问题3的结论，来解决问题教师可以引导学生进行分类讨论，分类的标准就是问题3的结论，即n为奇数或偶数，a的符号（1）由(5)2=5，(52)5=2 ，(5-3)5=-3，(6-4)6无意义，可以抽象得到：只要(na)n有意义，则(na)n=a一定成立（2）由323=2，505=0，可以抽象得到：当n为奇数时，nan=a一定成立由424=2，606=0，可以抽象得到：当n为偶数时，nan=
7、|a|=&a, a0，&-a, a0设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根的概念，形成严谨的分类思想，提升逻辑推理的核心素养例1 求下列各式的值：（1）； （2）； （3）； （4）师生活动：学生独立完成后展示交流师生总结求解要点：要根据n的奇偶性进行具体分析要特别注意当n为偶数时最后结果的准确表示及化简例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论后再化简解：（1）；（2）；（3）；（4）设计意图：通过练习，学生可以巩固n次方根的概念，以及前面探究得到的关于nan的性质问题5：负整数指数幂是用于表示分式
8、的，例如，其本质是把指数的范围从正整数拓展到全体整数得到的如果把指数的范围从整数拓展到分数，那么分数指数幂的意义又是什么呢？它与根式又什么关系？尝试给出一个合理的规定，在分数指数幂和根式之间建立起联系，并谈谈你对这样规定的合理性师生活动：学生分组讨论交流，教师提示在将整数指数幂拓展到分数整数幂时，需要与已有的整数指数幂的概念和运算性质相容追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式那么当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，比如，这样的根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？师生活动：教
9、师个别提问，学生类比猜想得到答案，全班讨论其答案是否合理我们规定，正数的正分数指数幂的意义是于是，在条件a 0，m，nN*，n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式追问2：阅读教科书，并结合正数的负整数指数幂、正数的正分数指数幂的意义，你能说出正数的负分数指数幂的意义吗？师生活动：学生阅读教科书，回答问题因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数我们规定例如，追问3：0与负数有分数指数幂吗？为什么？师生活动：学生讨论交流，教师讲授与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0而因为0不能做分母，所以0的负分数指数幂没
10、有意义对于负数，根据前面的讨论已知，在实数范围内负数没有偶次方根，所以对于负数的分数指数幂，此时暂不做讨论设计意图：通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系学生通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对根式和分数指数幂的理解，清楚分数指数幂意义的本质就是根式问题6：规定了分数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？师生活动：教师引导学生回顾整数指数幂的运算性质，并检验这些性质是否也适用于有理数指数幂作为示范，教师可以只对一个性质进行检验证明，剩下的交给学生自行完成整
11、数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质（1）；（2）；（3）可以通过n次方根与有理数指数幂的关系，对上述三个性质进行证明下面以性质（1）为例首先考虑r0，s0的情况由于r，s是有理数，所以可设，其中m，n，p，q都是正整数，且m与n互质，p与q互质，所以对于r0，s0的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明设计意图：在将整数指数幂拓展到有理数指数幂的基础上，进一步研究有理数指数幂的运算性质例2 求值：（1）； （2）1681-34师生活动：学生独立完成后展示交流预设的答案：解：（1）；（2）1681-34=811634=342434=324
12、34=323=278设计意图：通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0）：（1）； （2）师生活动：学生独立完成后展示交流教师可以提示：求解的依据是什么？学生应当想到依据就是分数指数幂和n次方根的关系预设的答案：解：（1）；（2）设计意图：通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n次方根的互相转化，特别是把n次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）； （2）； （3）师生活动：学生独立完成后展示交流预设的答案：解：（1）；（2）；（3）设计意图：本题
13、具有一定的综合性，需要综合运用n次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质问题7：本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？师生活动：学生讨论交流预设的答案：研究内容和路径可以用下图（图1）表示：n次方根整数指数幂分数指数幂被开方数的指数能被根指数整除的根式被开方数的指数不能被根指数整除的根式有理数指数幂运算性质图1分数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到有理数后，其运算性质保持不变其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的
14、设计意图：加深对有理数指数幂的运算性质的理解再次体会在数学中，引进一个新的概念或法则时，总是希望它与已有的概念或法则相容的这种思想为以后的数学概念的拓展，在思想上和方法上奠定基础（五）目标检测设计1用根式的形式表示下列各式（a0）：（1）； （2）； （3）； （4）设计意图：检测根式与分数指数幂的互化2用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）设计意图：检测根式与分数指数幂的互化3计算下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）设计意图：检测有理数指数幂的运算性质参考答案：1（1） （2） （3） （4）2（1） （2） （3） （4）3（1） （2）18 （3） （4）2. 课后作业教科书第109页习题4.1第1,2,5题（六）课后反思
