1、宁夏中卫市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据复数的乘法运算，求得，再求其共轭复数即可.【详解】因为，故可得.故选：A.【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解不等式求出集合A、B，然后再根据集合的交运算即可求解.【详解】由，所以.故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二
2、次不等式的解法，属于基础题.3.已知向量，则（ ）A. 1B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，两式联立，可得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.4.已知命题：任意，都有；命题：，则有则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则 不成立.则，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解
3、题的关键，属于基础题.5.已知定义域为的奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.【详解】由满足，所以函数的周期，又因为函数为奇函数，且当时，所以.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.6.已知抛物线的焦点为，是上一点，则（ ）A. 4B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.7.已知,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
4、析】由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.【详解】解: , 即.又 , 故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 10B. 5C. 20D. 30【答案】C【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解.【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，如图： 该几何体的体积：.故选：C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、
5、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.9.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，所以在中，因为，所以，即，所以，则，故选B10.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
6、析】根据直角三角形的内切圆半径（，为直角边，为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.【详解】由题意两直角边为，斜边，所以内切圆半径，所以落在其内切圆内的概率：，故选：A【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.11.函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由函数的单调区间，解得的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.【详解】因为在区间上是单调函数，则由，可得，则，解得.又因为的图像关于点对称，故可得，即，解得.结合的取值范围，即可得或.故选：B.【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对
7、称中心，求参数范围的问题，属基础题.12.函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.【详解】，令，得或，当时，函数在上单调递增，且;当时，函数在上单调递减;当时，函数在上单调递增.所以极大值，极小值，作出大致图象：令，则方程有两个不同的实数根，且一个根在内，另一个根在内，或者两个根都在内.因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.故选：D【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨
8、论函数图象特征，结合二次方程根分布知识求解.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_.【答案】甲.【解析】【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两
9、位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； （2）将茎上的数字按大小次序排成一列（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较14.已知，则曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】分析】求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.详解】由，则，当时，解得，所以，即，所以曲线在点处的切线方程为：，即为.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等
10、函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里小时_【答案】【解析】由已知，所以，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用16.已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，且三棱锥的体积为，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】利用面积公式求出的面积，再利用余弦定理求出的长度，利用正弦定理求出的外接圆半径，根据勾股定理
11、求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.【详解】的面积，设球心到平面的距离为，则，解得，在中，由余弦定理， 设的外接圆半径为，由正弦定理则，解得，设球的半径为，则，所以球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.等差数列的前项和为，已知，.（）求数列的通项公式及前项和为；（）设为数列的前项的和，求证：.【答案】（）， （）见解析【解析】【分析】（）根据等差数列公式直接计算得到答案.（），根据裂项求
12、和法计算得到得到证明.【详解】（）等差数列的公差为，由，得，即，解得，.，.（），即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：乙教师分数频数分布表分数区间频数3315193525（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；（3）如果该校以学生对老师评分
13、的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）【答案】(1)人；（2）；（3）乙可评为年度该校优秀教师【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为可得70分以下的频率，由频率即可求解. （2）根据频数分布表有3人，有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（3）利用平均数小矩形的面积小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.【详解】
14、（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为， 70分以下的频率为，所以对甲教师的评分低于70分的人数：.（2）由频数分布表有3人，有3人， 记的3人为A、B、C，的3人为、，随机选出2人：， ， ， ，共种；评分均在的抽取方法：， ，共3种；所以2人评分均在范围内的概率.（3）由频率分布直方图可得的频率为： 甲教师的平均数为：，乙教师的平均数为：，由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.19.如图1，在中, 分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位
15、置，使，如图2. （1）求证：；（2）线段上是否存在点，使平面？说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段上存在点，使平面.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可证DE平面A1DC，从而有DEA1F，又A1FCD，可证A1F平面BCDE，问题解决；（2）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC，平面DEQ即为平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ试题解析：（1）证明：由已知得且，又，平面，面平面，又平面，.（2）线段上存在点，使平面.理由如下：如图，分别取的中点，则.平面即为平面.由（1）知平面，又是等腰三角形底边的中点，平面
16、，从而平面，故线段上存在点，使平面. 点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为， （）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值.【解析】【分析】（）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（）设
17、出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.【详解】（）由题设得,又,解得,.故椭圆的方程为.（）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,把代入椭圆的方程,消去并整理得,则,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时, ,综上,在轴上存在定点,使得为定值.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值
18、与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）a；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围；（2）问题转化为即在时恒成立，令，求导后分和求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案【详解】解：（1）函数在，上单调递增， 在， 上恒成立，当时，有最小值，；（2），（1），函数在处的切线平行于轴，不等式在时恒成立，在时恒成立
19、，即在时恒成立，令，当时，在上恒成立，即在上单调递增，（1），则，矛盾，当时，令，解得，令，解得：，令，解得：，在单调递减，在，单调递增，令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不存在整数使得恒成立，综上所述不存在满足条件的整数【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22.已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立
20、极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.（1）若，求实数的值；（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有求解.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，化为直角坐标系下的普通方程为：，即.直线的普通方程为：，而点到直线的距离为，所以，即，又因为，所以.（2）显然点在直线上，把代入并整理可得，设点对应的参数分别为.则，解得或.则，解得或.而，实数m的取值范围是.【点睛】
21、本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.已知，且.（1）求的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由条件等式将用表示，再从，进一步求出的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证.【详解】（1）依题意，故.所以，所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又因为，所以.【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.
