1、3.3.2 抛物线的简单几何性质 （基础知识+基本题型）知识点一 抛物线的简单几何性质以抛物线为例探究其性质.(1)范围：因为，由方程可知，对于抛物线上的点，所以这条抛物线在轴右侧，开口方向与轴正向相同；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：以代换，方程不变，所以这条抛物线关于轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)定点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用表示，由定义可知，.提示(1)在方程中，的几何意义是焦点到准线的距
2、离，对于同一个，越大，也越大，说明抛物线的开口越大，这样就可以较好地理解不同值对抛物线的开口大小的影响. (2)过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，且交抛物线于，两点，线段称为抛物线的通径.由，可得，通径的长，从而可以根据顶点和通径的端点，作出抛物线的近似图象.对于抛物线其他三种标准形式也可得到上述类似性质，现将这四种抛物线标准方程的几何性质总结如下表：图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向
3、左向上向下知识点二 抛物线的简单几何性质1.焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.(1)抛物线，.(2)抛物线，.(3)抛物线，.(4)抛物线，.提示在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.2.焦点弦问题如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，的中点，过点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，根据抛物线的定义有，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；(1)以为直径的圆必与准线相切.(2)(焦点弦长与中点关系)以上结论是抛物线特有的性质，要注意灵活运用.拓展对于抛物线的焦点弦有如下结论：（1）.（2）若直线的倾斜角为，则.（3），两
4、点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（4）为定值.知识点三 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.下面对抛物线与直线的位置关系进行讨论：(1)直线的斜率不存在.设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.(2)直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，也等于方程（或）的解的个数.若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无
5、公共点.若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.拓展设为抛物线的弦，弦AB的中点为.(1)弦长公式：（为直线的斜率，且）.(2),推导：由题意，知， 由-，得.故，即.(3)直线的方程为.考点一 由抛物线的几何性质求标准方程例1已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点，求抛物线的方程.解：当抛物线的焦点在轴上时，设其方程为.将代入，得.所以.当抛物线的焦点在轴行时，设其方程为.将代入，得.所以.故所求抛物线的方程为或.求抛物线的标准方程的步骤定位置根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向设方程根据焦点和开口方向设出标准方程寻关系根据条件列出关于的方程得方程解方程，将代入所设方程
6、得所求考点二 直线与抛物线的位置关系的判断例2设直线 ，抛物线，当为何值是，与相切 ？相交？相离？解：联立方程，得消去并整理，得.当时，方程为一元二次方程.所以.当，即时，与相切；当，即 ，且时，与相交；当，即时，与相离.当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.求抛物线的标准方程的步骤直线与抛物线的位置关系的判断理论上是由联立直线方程与抛物线方程所得的方程组的实数解的情况来确定的，实践中往往转化为对相关一元二次方程的根的判别式的考查：(1)直线与抛物线有两个公共点；(2)直线与抛物线有且只有一个公共点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；(3
7、)直线与抛物线无公共点.考点三 弦长问题例3设直线 ，抛物线交于，两点，已知弦的长为，求的值.解：由消去，得.由，得.设，则，.所以.所以，所以，解得，所以的值为.直线（斜率存在）与抛物线相交且有两个公共点时，弦长或，经常用设而不求的技巧，借助根与系数的关系整体代入求解，同时应注意这一隐含条件的作用.例4 已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于，两点，请判断：（1）是否为定值？（2）是否为定值？解：（1）抛物线的焦点为，当与轴不垂直时设直线的方程为（）.由，消去并整理，得.由根与系数的关系，得（定值）.当垂直于轴时，也成立.所以为定值.由抛物线的定义，知，.故（定值）.所以为定值.解决与抛物线
8、有关的定值问题时，常常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根与系数的关系来解决.如第（1）问，判断是否为定值，就需要把直线的方程与抛物线的方程联立，消去后，利用一元二次方程根与系数的关系，得到相应的结论.考点四 弦中点问题例5 已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.分析：方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况.解：方法1：设，弦的中点为，则，当直线的斜率存在时，.因为两式相减，得.所以，即，即.当直线斜率不存
9、在，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.所以 所以.设，的中点为，则，.所以.所以消去参数，得.当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.处理中点问题的基本方法是点差法，根与系数关系的方法，直线与抛物线联立时消去有时更简捷些，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线（）上两点，及的中点，则有.考点五 抛物线中的探究性问题例6 设抛物线（）的焦点为，准心与轴的交点为，且过点的直线交抛物线于，两点.（1）若直线的斜率为，求证：；（2）设直线，的斜率分别为，探究与之间的关系，并说明理由.（1）证明：因为，所以直线的方程为.由，消去，得，解得，.又因为，所以，.所以.（2）解：.理由如下：因为直线与抛物线交于，两点，所以可设直线的方程为（）.由，消去，得.设，则.因为，所以，.故.解决探究性问题，对观察、联想、类比、猜想、抽象、概括诸方面有较高要求，这类问题一般有如下解决方法：直接求解；观察猜想证明；赋值推断；数形结合；联想类比；特殊一般特殊.充分利用题设条件是解题关键.
