1、2017年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1已知全集U=R，集合A=x|x2，B=1，2，3，4，那么（UA）B=（）A3，4B1，2，3C1，2D1，2，3，42已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A1+iB1+2iC12iD2+3i3下列说法中不正确的个数是（）“x=1”是“x23x+2=0”的必要不充分条件命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01”若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真A3B2C1D04某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、
2、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A860B720C1020D10405算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A3B4C5D66若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A2log23Blog27C3D27双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A2BCD8某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是
3、（）A16B32CD9已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B1，2）C（，1D110在等腰直角ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若ACD=60，则t的值为（）ABCD11设偶函数f（x）（xR）的导函数是函数f（x），f（2）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，2）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（0，2）（2，0）12抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则AFB的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题4小题，每小
4、题5分，满分20分13已知实数x，y满足条件，则z=2x+y5的最小值为 14已知向量，且，则= 15正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥OABCD的内切球的表面积 16设Sn为数列an的前n项和，若2an+（1）nan=2n+（1）n2n（nN*），则S10= 三解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）设b=10，求ABC的面积S18某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下
5、表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）空气质量指数频数频率（0，50xa（50，100yb（100，150250.25（150，200200.2（200，250150.15（250，300100.1（）求x，y，a，b的值；（）请在答题卡上将频率分布直
6、方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数19在四棱锥PABCD中，PAB和PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BCPB；（3）求点A到面PBC的距离20已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD21已知函数f（x）=（x1）ex+ax2，aR（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若f（x）有
7、两个零点，求a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号选修4-1：几何证明选讲22在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，aR）以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos=0（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知关于x的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数m的最大值为M（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=
8、M，求证： +12017年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1已知全集U=R，集合A=x|x2，B=1，2，3，4，那么（UA）B=（）A3，4B1，2，3C1，2D1，2，3，4【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】由题意和补集的运算求出UA，由交集的运算求出（UA）B【解答】解：因为全集U=R，集合A=x|x2，所以CUA=x|x2，又B=1，2，3，4，则（CUA）B=1，2，故选C2已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A1+iB1+2iC12iD2+3i【考点
9、】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：z=+i=，故选：C3下列说法中不正确的个数是（）“x=1”是“x23x+2=0”的必要不充分条件命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01”若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真A3B2C1D0【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】利用充要条件判断的正误；命题的否定判断的正误；四种命题的逆否关系判断的正误；【解答】解：对于“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，不是必要不充分条件，所以不正确；对于命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01
10、”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真满足四种命题的逆否关系，正确；故选：B4某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A860B720C1020D1040【考点】B3：分层抽样方法【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选：D5算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？
11、”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A3B4C5D6【考点】89：等比数列的前n项和【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n1a盏灯，共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即解得：a=3故选：A6若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A2log23Blog27C3D2【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=的值，即可求
12、得S的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=的值，由于S=3故选：C7双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A2BCD【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆相切，圆心到渐近线的距离为=1或=1，求得a=b，c2=a2+b2=4a2，e=2故选：A8某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A16B32CD【考点】L!：由三视图求面积
13、、体积【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC，过点P作PO底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC，过点P作PO底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4则该几何体的体积V=故选：D9已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B1，2）C（，1D1【考点】34：函数的值域【分析】根据分段函数的值域为R，具有连续性，由y=log2x是增函数，可得y=（2a）x+3a也是增函数，故得2a0，（2a）+3a0，可得答案【解答】解：函数
14、f（x）=的值域为R，由y=log2x是增函数，y=（2a）x+3a也是增函数，故得2a0，解得：a2，函数f（x）的值域为R，（2a）1+3alog21，解得：a1实数a的取值范围是1，2）故选B10在等腰直角ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若ACD=60，则t的值为（）ABCD【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可【解答】解：，A，B，D三点共线，由题意建立如图所示坐标系，设AC=BC=1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y=1，直线CD的方程为y=x，故联立解得，x=，y
15、=，故D（，），故=（，），=（1，0），=（0，1），故t+（1t）=（t，1t），故（，）=（t，1t），故t=，故选：A11设偶函数f（x）（xR）的导函数是函数f（x），f（2）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，2）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（0，2）（2，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（，0）是增函数，再根据f（x）为偶函数，得到g（x）是奇函数，在（0，+）递增，从而求出f（x）0的解集即可【解答】解：令g（x）=，g（x）=，x0时，xf（
16、x）f（x）0，x0时，g（x）0，g（x）在（，0）上是增函数，f（x）是偶函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x），g（x）是奇函数，g（x）在（0，+）上是增函数，f（2）=0，g（2）=0，g（2）=g（2）=0，如图示：当x0，f（x）0，即g（x）0=g（2），解得：x2，当x0时，f（x）0，即g（x）g（2）=0，解得：x2故不等式f（x）0的解集是（，2）（2，+），故选：B12抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则AFB的最大值为（）ABCD【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】利用余弦定理，结合基
17、本不等式，即可求出AFB的最大值【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以在AFB中，由余弦定理得： =又所以，AFB的最大值为，故选D二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13已知实数x，y满足条件，则z=2x+y5的最小值为6【考点】7C：简单线性规划【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：由得A（1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为2的动直线l，由图数形结合可知：当l过点A时，z最小为21+15=6故答案为：6
18、14已知向量，且，则=2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出【解答】解：，2x6=0，解得x=3则=（2，4），则=2故答案为：15正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥OABCD的内切球的表面积【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体【分析】利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥OABCD的高，可得斜高，利用等体积法求出正四棱锥OABCD的内切球的半径，根据球的表面积公式计算即得结论【解答】解：正四棱锥OABCD的体积V=Sh=h=，h=，斜高为=，设正四棱锥OABCD的内切球的半径为r，则（+4）r=，r=正四棱锥OA
19、BCD的内切球的表面积为4r2=故答案为：16设Sn为数列an的前n项和，若2an+（1）nan=2n+（1）n2n（nN*），则S10=【考点】8H：数列递推式【分析】由2an+（1）nan=2n+（1）n2n，得当n=2k1（kN*）时，可得a2k1=0当n=2k时，即a2k=再利用等比数列的前n项公式即可得出答案【解答】解：2an+（1）nan=2n+（1）n2n，当n=2k1（kN*）时，2a2k1a2k1=0，即a2k1=0当n=2k时，即a2k=S10=a2+a4+a10=故答案为：三解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，三个内角
20、的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）设b=10，求ABC的面积S【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案【解答】解：（1），又A、B、C是ABC的内角，又A、B、C是ABC的内角，0A+C，（2），ABC的面积18某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超
21、过300）：空气质量指数（0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）空气质量指数频数频率（0，50xa（50，100yb（100，150250.25（150，200200.2（200，250150.15（250，300100.1（）求x，y，a，b的值；（）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域）
22、，并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数【分析】（）由题意得：365b=73，a+b=0.3，由此能求出x，y，a，b的值（）补全直方图，由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数【解答】解：（）由题意得：365b=73，解得b=0.2，又a+b=0.3a=0.1，x=1000.1=10，y=1000.2=20（）补全直方图如图所示由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为：250.1+750.2+1250.25+1750.2+2250.15+2750.1=14519在四棱锥PABCD中，P
23、AB和PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BCPB；（3）求点A到面PBC的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算【分析】（1）证明点O为ABD的外心，利用ABD是直角三角形，可得O是AD中点；（2）由BCPO，CBBO得CB面PBO，即可证明：BCPB；（3）由等体积法VPABC=VAPBC，求点A到面PBC的距离【解答】（1）证明：PAB和PBD都是等边三角形，PA=PB=PD，又PO底面ABCD，OA=OB=OD，则点O为ABD的外心，又因为ABD是直角三角形，点O为AD中点（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点
24、O为AD中点，于是PO面ABCD，BCPO，在RtABD中，BD=BA，OBAD，又，从而即CBBO，由BCPO，CBBO得CB面PBO，BCPB（3）解：，ABCD是平行四边形，在RtABD中，AB=AC=2，由（2）知：PO面ABCD，BCPB，由PB=2，设点A到面PBC的距离为h，由等体积法VPABC=VAPBC，即点A到面PBC的距离为120已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=M
25、CMD【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把MAMB化为，再由两点间的距离公式求得MCMD的值得答案【解答】（）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为；（）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m22=0=4m24（2m22）=84m20，即设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|=x0=m，即M（
26、），则OM所在直线方程为y=，联立，得或C（，），D（，）则MCMD=而MAMB=（105m2）=MAMB=MCMD21已知函数f（x）=（x1）ex+ax2，aR（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若f（x）有两个零点，求a的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；53：函数的零点与方程根的关系【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可【解答】解：（）f（x）=（x1）ex+ax2，f（x）=x（ex+2a），a0时，令f（x）0，解得：x0，令f（x）
27、0，解得：x0，f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；a0时，ln（2a）0，令f（x）0，解得：x0或xln（2a），令f（x）0，解得：ln（2a）x0，故f（x）在（，ln（2a）递减，在（ln（2a），0）递增，在（0，+）递减；a=时，ln1=0，f（x）在R递增；a时，ln（2a）0，令f（x）0，解得：x0或xln（2a），令f（x）0，解得：ln（2a）x0，故f（x）在（，0）递减，在（0，ln（2a）递增，在（ln（2a），+）递减；（）函数g（x）的定义域为R，由已知得g（x）=x（ex+2a）当a=0时，函数g（x）=（x1）ex只有一个零点；当a0，因为ex+2a
28、0，当x（，0）时，g（x）0；当x（0，+）时，g（x）0所以函数g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增又g（0）=1，g（1）=a，因为x0，所以x10，ex1，所以ex（x1）x1，所以g（x）ax2+x1，取x0=，显然x00且g（x0）0，所以g（0）g（1）0，g（x0）g（0）0，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当a0时，由g（x）=x（ex+2a）=0，得x=0，或x=ln（2a） 当a，则ln（2a）0当x变化时，g（x），g（x）变化情况如下表：x（，0）0（0，ln（2a）ln（2a）（ln（2a），+）g（x）+00+g（x）1注意到g（0
29、）=1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意） 当a=，则ln（2a）=0，g（x）在（，+）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意若a，则ln（2a）0当x变化时，g（x），g（x）变化情况如下表：x（，ln（2a）ln（2a）（ln（2a），0）0（0，+）g（x）+00+g（x）1注意到当x0，a0时，g（x）=（x1）ex+ax20，g（0）=1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意综上，a的取值范围是（0，+）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号选修4-1：几何证明选讲22在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过
30、点P（a，1），其参数方程为（t为参数，aR）以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos=0（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值【解答】解：（）曲线C1参数方程为，其普通方程xya+1=0，由曲线C
31、2的极坐标方程为cos2+4cos=0，2cos2+4cos2=0x2+4xx2y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x（）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=22|t2|，即t1=2t2或t1=2t2当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，a=0，符合题意当t1=2t2时，有t1+t2=t2=，t1t2=2t22=，a=0，符合题意综上所述，实数a的值为或选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知关于x的
32、不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数m的最大值为M（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +1【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|=5，若不等式|x2|x+3|m+1|有解，则满足|m+1|5，解得6m4M=4（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 （a+b）+（b+c）=1+= （a+b）+（b+c）（+）=（1+1+）（2+2）4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号+1成立2017年6月20日
