1、考点测试47数列求和高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题一、基础小题1我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有()A(878)人 B(898)人C8(878)人 D8(8984)人答案D解析由题意可
2、得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8848586878888(8984)人故选D.2已知数列an满足an1(1)n1an2，则其前100项和为()A250 B200 C.150 D100答案D解析当n为奇数时，得anan12，所以S100(a1a2)(a3a4)(a99a100)250100.故选D.3数列的前2021项和为()A1 B1C1 D1答案D解析，数列的前2021项和为11.故选D.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则该数列的前10项和为()A2146 B1122 C.2148 D11
3、24答案A解析因为an2n2n1，所以前n项和Sn2n1n22，所以前10项和S1021110222146.5(多选)已知数列an：，若bn，设数列bn的前n项和为Sn，则()Aan BannCSn DSn答案AC解析由题意得an，所以bn4，所以数列bn的前n项和Snb1b2b3bn44.故选AC.6(多选)首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的是()A若S100，则S2S80B若S4S12，则使Sn0的最大的n为15C若S150，S160，则Sn中S8最大D若S7S8，则S8S9答案BC解析对于A，若S100，则S100，则a1a100，设该等
4、差数列的公差为d，则2a19d0，又d0，则S2S8(2a1d)(8a128d)10a129d0，A错误；对于B，若S4S12，则S12S40，即a5a6a11a124(a8a9)0，由于a10，则a80，a90，则有S150，S160，故使Sn0的最大的n为15，B正确；对于C，若S150，S160，则S1515a80，S160，则有a80，a90，则Sn中S8最大，C正确；对于D，若S7S8，则a8S8S70，而S9S8a9，不能确定其符号，D错误故选BC.7已知数列an为等比数列，a12，a34，则aaaa_答案1020解析数列an为等比数列，a12，a34，q22，a(a1qn1)24
5、(q2)n142n12n1，aaaa1020.8已知在数列an中，a12，2n(anan1)1，设Tna12a22n1an，bn，则数列bn的前n项和Sn_答案2n12解析由题意可知，因为Tna12a22n1an，所以2Tn2a122a22nan，两式相加得3Tna12(a1a2)22(a2a3)2n1(an1an)2nan2(n1)12nann12nan，所以bn2n，从而Sn2n12.二、高考小题9(2021浙江高考)已知数列an满足a11，an1(nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则()AS1003 B3S1004C4S100 DS1000，a2，所以S100.所以，两边同时开方可得
6、，则，由累加法可得1，所以1(n2)，当n1时，等号成立，所以，所以an1an，即，由累乘法可得，an16(n2)，当n1时，等号成立，所以S10012an1成立的n的最小值为_答案27解析设An2n1，Bn2n，nN*，当AkBlAk1(k，lN*)时，2k12l2k1，有k2l1k，则k2l1，设TlA1A2A2l1B1B2Bl，则共有kl2l1l个数，即TlS2l1l，而A1A2A2l12l122l2，B1B2Bl2l12.则Tl22l22l12，则l，Tl，n，an1的对应关系为lTlnan112an1132336210456033079108494121720453182133396
7、611503865780观察到l5时，TlS2112a39，则n22，38)，nN*时，存在n，使Sn12an1，此时T5A1A2A16B1B2B3B4B5，则当n22，38)，nN*时，SnT5n210n87.an1An15An4，12an1122(n4)124n108，Sn12an1n234n195(n17)294，则当n27时，Sn12an10，即nmin27.三、模拟小题14(2022湖北黄冈模拟)若数列an满足an1an(1)nn，则数列an的前20项和为()A100 B100 C.110 D110答案A解析由an1an(1)nn，得a2a11，a3a43，a5a65，a19a201
8、9，an的前20项和为a1a2a19a20131910100.15(2021山东烟台一中模拟)已知数列an的首项a11，函数f(x)x3an1ancos 为奇函数，记Sn为数列an的前n项和，则S2021的值是()A B1011C1008 D336答案B解析函数f(x)x3an1ancos 为奇函数，则f(0)an1ancos 0，即an1ancos ，因为cos 的值以6为周期循环，且a2a1，a3a2，a4a31，a5a4，a6a5，a7a61，又a11，所以a2，a31，a40，a5，a60，a71，所以an以6为周期循环故S2021336(a1a2a3a4a5a6)a1a2a3a4a5
9、1011.故选B.16(多选)(2021山东淄博模拟)对于数列an，定义H0为an的“优值”现已知数列an的“优值”H02n1，记数列an20的前n项和为Sn，则下列说法正确的是()Aan2n2 BSnn219nCS8S9 DSn的最小值为72答案ACD解析由题意可知，H02n1，则a12a22n1ann2n1，当n1时，a121114，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n，得，2n1ann2n1(n1)2n，an2(n1)，当n1时也成立，an2n2，A正确；Sna120a220an20a1a2an20n2122222n220n2(12n)2n20nn(n1)18nn217n，B错误
10、；an202n18，当an200时，即n9，a9200，故当n8或9时，an20的前n项和Sn取最小值，最小值为S8S972，C，D正确故选ACD.17(多选)(2021湖北天门联考)已知正项数列an的首项为2，前n项和为Sn，且SnanSn11，bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn16，则n的值可以为()A543 B542 C.546 D544答案AB解析因为SnanSn11，所以aa2(an1an1)，即(an11)2(an1)22，故数列(an1)2是首项为(a11)21，公差为2的等差数列，则(an1)22n1，则an1，所以bn，则Tn(1)(1)，令(1)16，解得33，即n54
11、4.故选AB.18(2021江苏泰安学情调研)已知函数f(x)x3sin ，则fff_答案2020解析f(a)f(1a)a3sin 1a3sin 23sin 3sin 2，设Sfff，则Sfff.得2S20204040，S2020.19(2022辽宁沈阳摸底考试)已知数列an满足a11，an1aan，数列bn的前n项和为Sn，an1bnan.若S1000，则an1ana0，故an为递增数列因为a11，所以01，故S1001(0，1)，所以k的最小值为1.一、高考大题1(2021新高考卷)已知数列an满足a11，an1(1)记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；(2)求an的前2
12、0项和解(1)因为a11，an1所以a2a112，a3a224，a4a315，因为a2n1a2n2a2n112a2n13，即a2n1a2n13，所以数列an的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，所以当n为奇数时，an13，因为a2n2a2n11a2n21a2n3，即a2n2a2n3，所以数列an的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，所以当n为偶数时，an23，而bna2n，所以b1a22，b2a45，bna2n3n1，所以bn3n1.(2)由(1)，知an的前20项和S20a1a2a20(a1a3a19)(a2a4a20)10131023300.所以an的前20项和为300.2(2
13、021浙江高考)已知数列an的前n项和为Sn，a1，且4Sn13Sn9(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足3bn(n4)an0(nN*)，记bn的前n项和为Tn.若Tnbn对任意nN*恒成立，求实数的取值范围解(1)因为4Sn13Sn9，所以当n2时，4Sn3Sn19，两式相减可得4an13an，即.当n1时，4S249，解得a2，所以.所以数列an是首项为，公比为的等比数列，所以an.(2)因为3bn(n4)an0，所以bn(n4).所以Tn3210(n4)，且Tn3210(n5)(n4)，得Tn3(n4)(n4)n，所以Tn4n.因为Tnbn对任意nN*恒成立，所以
14、4n(n4)恒成立，即3n(n4)恒成立，当n4时，3，此时3.所以31.3(2021天津高考)已知an是公差为2的等差数列，其前8项和为64.bn是公比大于0的等比数列，b14，b3b248.(1)求an和bn的通项公式；(2)记cnb2n，nN*，证明cc2n是等比数列；证明 0)，所以b3b2b1q2b1q4(q2q)48，解得q4(负值舍去)，所以bnb1qn14n，nN*.(2)证明：由题意，得cnb2n42n，所以cc2n224n，所以cc2n0，且4，又cc28，所以数列cc2n是以8为首项，4为公比的等比数列由题意知，所以 ，所以 ，设Tn ，则Tn，两式相减得Tn12，所以T
15、n4，所以 2.二、模拟大题4(2021福建三明期末)设Sn为数列an的前n项和，已知a12，Snan120.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列的前n项和为Tn，证明：Tn.解(1)由Snan120，得Snan12，则当n2时，Sn1an2，得SnSn1an1an，所以anan1an，即an12an.又因为a12，且a2S12a1242a1，所以an是首项为2，公比为2的等比数列所以an2n.(2)证明：由(1)知bnlog22nn，则.所以TnTn成立，求实数的取值范围解(1)证明：an111，1，即1(nN*)，数列是以1为公差的等差数列(2)由(1)可知数列是以1为公
16、差的等差数列，且1，n，an1，bn(1)n1，Tn(1)n11(1)n1，当n为奇数时，Tn1单调递减，当n时，Tn1，Tn1；当n为偶数时，Tn1单调递增，TnT2，(Tn)min，存在nN*，使得Tn成立，(Tn)min即可，.7(2022辽宁名校联考)已知数列an满足a3，an1.(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)若_，求数列bn的前n项和Tn.在bnanan1；bn；bn这三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)显然an0，由an1两边同时取倒数得2，即2，所以数列是公差为2的等差数列故(n3)22n，即an.(2)选：由已知得bn，那么数列bn的前n项和Tn.选：由已知得bn(1)n2n，那么数列bn的前n项和Tn2468(1)n2n，当n为偶数时，Tn2n；当n为奇数时，Tn2(2)n1，故Tn选：由已知得bn2n2n，那么数列bn的前n项和Tn(242n)n2n.
