1、第一节 平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的
2、线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算|a|a|，当 0 时，a 与a 的方向相同；当 0 时，a与 a 的方向相反；当 0 时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()()(4
3、)向量 ab 与 ba 是相反向量()(5)若 ab，bc，则 ac.()(6)向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(7)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2.如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则图中与相等的向量有_3化简：4已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.答案：13 典题 1(1)给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要
4、条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()A B C D(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1 B2C3 D4听前试做(1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相
5、反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A.(2)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故选 C.答案：(1)A(2)C(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(4)非零
6、向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量(2)设 D，E 分 别 是 ABC 的 边 AB，BC 上 的 点，AD 12 AB，BE 23 BC.若(1，2 为实数)，则 12 的值为_答案：(1)A(2)12答案：23 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解典题 3 设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D 三点共线(2
7、)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线(2)因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)，即k，1k，解得 k1.即 k1 时，kab 与 akb 共线探究 1 若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则 m 为何值时，A、B、D 三点共线？即 4a(m3)b(ab)，4，m3，解得 m7.故当 m7 时，A、B、D 三点共线探究 2 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？解：因为 kab 与 akb 反向共线，所以存在实数，使 kab(akb)(0)，所以k，k1，所以 k1.又 0，k，所以 k1.故当 k1 时两向量反向共线(1)证
8、明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立；若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线1已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一直线上，则 t_.解析：a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相同atb与 a13(ab)共线，即 atb 与23a13b 共线，存在实数，使 atb23a13b，123，t13，解得 32，t12，
9、即 t12时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上答案：12答案：3课堂归纳感悟提升方法技巧1向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”易错防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误全盘巩固一、选择题1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则ab；向量与相等；若非零向量与是共线向量，
10、则 A，B，C，D 四点共线则所有正确命题的序号是()A B C D解析：选 A 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A，B，C，D 四点不一定共线，故错误2已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足则下列结论正确的是()3如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aa12b B.12abCa12b D.12ab4(2015天水模拟)A、B、O 是平面内不共线的三个定点，且点 P 关于
11、点 A 的对称点为 Q，点 Q 关于点 B 的对称点为 R，则()Aab B2(ba)C2(ab)Dba5(2016日照模拟)在ABC 中，P 是 BC 边的中点，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若则ABC 的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形二、填空题6(2016包头模拟)如图，在ABC 中，AHBC 交 BC 于 H，M 为 AH 的中点，若则 _.答案：127ABC 所在的平面内有一点 P，满足则PBC 与ABC 的面积之比是_答案：23答案：2三、解答题冲击名校A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直 2在平行四边形 ABC
12、D 中，点 E 是 AD 的中点，BE 与 AC 相交于点 F，若 EFmABnAD(m，nR)，则mn的值为()A2 B12 C2 D.123.如图所示，已知点 G 是ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N两点，且则 xyxy的值为()A3 B.13 C2 D.12解析：选 B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边 BC 的直线，易得 xy23，则 xyxy13.4.如图，在平行四边形 ABCD 中，设S，R，Q，P 分别为 AP，SD，RC，QB 的中点，若manb，则 mn_.答案：65第二节 平面向量基本定理及坐标表示考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其
13、意义2掌握平面向量的正交分解及坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设
14、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 abx1y2x2y10.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2 满足 1a1b2a2b，则 12，12.()(5)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(6)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向
15、量终点的坐标()(7)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)答案：43已知 a(2,1)，b(3,4)，则 3a4b_，3a4b_.答案：(6,19)(18，13)4O 是坐标原点，当 k_时，A，B，C 三点共线答案：2 或 11典题 1 在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若其中，R，则 _.于是得121，121，即23，23，故 43.答案：43cb12a，da12b，解得a232dc，b232cd.即23(2dc)43d23c，23(2cd)43c23
16、d.(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决典题 2(1)(2015新课标全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)则 c()A12a32b B.12a32bC.32a12b D32a12b(3)(2016海淀模拟)已知向量 a(1,1)，点 A(3,0)，点 B 为直线 y2x 上的一个动
17、点若a，则点 B 的坐标为_听前试做(1)法一：设 C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)(2)设 c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得 112，232，所以 c12a32b.(3)设 B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得 x3，B(3，6)答案：(1)A(2)B(3)(3，6)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运
18、算法则平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用向量共线求参数或点的坐标典题 3(1)(2015四川高考)设向量 a(2,4)与向量 b(x,6)共线，则实数 x()A2 B3 C4 D6(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_听前试做(1)ab，264x0，解得 x3.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,
19、2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)答案：(1)B(2)(2,4)(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量角度二：利用向量共线解决三点共线问题(2)由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使
20、得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若 a，b 共线，则 t 可为任意实数；若 a，b 不共线，则有t33k0，2kt0，解得 t65.综上，可知 a，b 共线时，t 可为任意实数；a，b 不共线时，t65.答案：(1)1A、B、C 三点共线AB与 AC共线典题 5(1)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则_.(2)给定两个长度为 1 的平面向量它 们 的 夹 角 为 23.如 图 所 示，点 C 在 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 AB 上 运 动 若其中 x，yR，求 xy 的最大值听前试做(1)设 i，j 分别为水平方向和
21、竖直方向上的正向单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得 2，12，所以4.(2)以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1，0)，B12，32，设AOC0，23，则 C(cos，sin)，由得cos x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，所以 xycos 3sin 2sin6，又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.答案：(1)4本题(2)的难点是选择合适的变量表示 xy，然后转化为函数的最值求解，而破解这一难点的关键是建立平面直角坐标系，设出 C
22、 点的坐标为 C(cos，sin)，然后借助求出 x，y，从而利用三角函数的知识求出 xy 的最大值课堂归纳感悟提升方法技巧1两向量平行的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 ab 的充要条件是 ab，这与 x1y2x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定3若 a 与 b 不共线且 ab0，则 0.易错防范1若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充
23、要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.全盘巩固一、选择题A(4,10)B(2,5)C(4,5)D(8,10)2下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e212，34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A B C D解析：选 B 中，e112e2，即 e1 与 e2 共线，所以不能作为基底3已知向量 a(1sin，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角()A.6 B.4 C.3 D.512解析：选 B 因为 ab，所以(1sin)(1sin)1120，得 sin2
24、12，所以 sin 22，故锐角 4.4设向量 a(x,1)，b(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是()A2 B2 C2 D0解析：选 B 因为 a 与 b 方向相反，所以 bma，m0，则有(4，x)m(x,1)，4mx，xm，解得 m2.又 m0，m2，xm2.5已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，)D(，2)(2，)解析：选 D 由题意知向量 a，b 不共线，故 2m3m2，即 m2.二、填空题6(2016雅安模拟)已知向量 a(3，
25、1)，b(0，1)，c(k，3)若 a2b 与 c 共线，则 k_.解析：a2b(3，3)，且 a2bc，3 33k0，解得 k1.答案：1解析：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即2，22，解得1，3，所以 3.答案：38(2015江苏高考)已知向量 a(2,1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2n8，m2，n5，mn253.答案：3三、解答题(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求
26、M，N 的坐标及向量 MN的坐标解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.即所求实数 m 的值为1，n 的值为1.(3)设 O 为坐标原点，10已知 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求：(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由若 P 在 x 轴上，则 23t0，t23；若 P 在 y 轴上，则 1
27、3t0，t13；若 P 在第二象限，则13t0，23t0，n0)，求 mn 的最大值解：以 A 为原点，线段 AC、AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设ABC 的腰长为 2，则 B(0,2)，C(2，0)，O(1,1)M0，2m，N2n，0，直线 MN 的方程为nx2 my2 1，直线 MN 过点 O(1,1)，m2n21，即 mn2，mnmn241，当且仅当 mn1 时取等号，mn 的最大值为 1.第三节 平面向量的数量积考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
28、4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b，作则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角范围：设 是向量 a 与 b 的夹角，则 0180.共线与垂直：若 0，则 a 与 b 同向；若 180，则 a 与 b 反向；若 90，则a 与 b 垂直(2)平面向量的数量积定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a
29、|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|aa x21y21.夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)自我查验1判断下列结论的正误(正
30、确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由 ab0，可得 a0 或 b0.()(4)两向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.()(5)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(6)(ab)ca(bc)()(7)abac(a0)，则 bc.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则 ab_.答案：103已知|a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为 3
31、0，则|ab|_.答案：14已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于_答案：95已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60，则向量 a2e1e2 与 b2e23e1 的夹角为_答案：120典题 1(1)(2015新课标全国卷)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2(2)(2015天津高考)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且则的最小值为_听前试做(1)法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a
32、(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选 C.(2)在等腰梯形 ABCD 中，由 ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得 ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0,0)，B(2,0)，C32，32，D12，32，212，32 12 19，32212 12 19 341718 29121718229122918.当且仅当 2912，即 23时取等号，符合题意的最小值为2918.答案：(1)C(2)2918求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义1(2016成都模拟)ABC 中
33、，点 M 在线段 AC 上，点 P 在线段 BM 上，且满足AMMCMPPB2，若2，3，BAC90，则的值为()A1 B23C.143 D132(2016合肥联考)已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 ab 在 a 上的投影为_解析：|ab|2a2b22ab14212127，|ab|7，cosab，aaba|ab|a|117 2 77.ab 在 a 上的投影为|ab|cosab，a 72 77 2.答案：2典题 2(1)(2015重庆高考)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则a 与 b 的夹角为()A.4 B.2 C.34 D(2)已知向
34、量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92 B0 C3 D.152听前试做(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|2 23|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.cos 22.又0，4.(2)因为 2a3b(2k,6)(3,12)(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3，选 C.答案：(1)A(2)C探究 1 在本例(2)的条件下，若 a 与 c 的夹角的余弦值为 55，求 k 的值解：cosa
35、，c ac|a|c|2k3k29 5 55，2k3 k29，即 4k2912kk29，k24k0，解得 k0 或 k4，又 2k30，k0.探究 2 在本例(2)的条件下，若 2a3b 与 c 的夹角为钝角，求 k 的取值范围解：2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，即 k0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 ab0，反之不成立全盘巩固一、选择题1已知|a|6，|b|3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 ab 为()A12 B8 C8 D2解析：选 A|a|cosa，b4，|b|3，ab|a|b|cosa，b3412.2已知 p
36、(2，3)，q(x,6)，且 pq，则|pq|的值为()A.5 B.13 C5 D13解析：选 B 由题意得 263x0 x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|13.A2 B2 C4 D2解析：选 D SABC12|AB|AC|sinBAC1241sinBAC 3.sinBAC 32，cosBAC12，4已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B.73，79C.73，79 D.79，73解析：选 D 设 c(x，y)，则 ca(x1，y2)，ab(3，1)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又 c(ab)，(x，y)(3
37、，1)3xy0，联立，解得 x79，y73.5.如图，已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点，则()A最大值为 8 B为定值 6C最小值为 2 D与 P 的位置有关二、填空题6已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别是 BC，CD 的中点，则等于_答案：927(2015浙江高考)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.解析：e1e212，|e1|e2e1，e212，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33.答案
38、：2 338设 a，b，c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最大值为_解析：法一：设向量 c 与 ab 的夹角为，则有|ab|ab2 a2b22ab 2，(ac)(bc)(ab)cc21 2cos，故最大值是 1 2.法二：a，b 是单位向量，且 ab0，故可设 a(1,0)，b(0,1)又 c 是单位向量，故可设 c(cos，sin)，0,2)(ac)(bc)(1cos，sin)(cos，1sin)(1cos)cos sin(1sin)cos cos2sin sin21cos sin 1 2sin4.(ac)(bc)的最大值为 1 2.答案：1 2三、解答题10已知|a|4，|b
39、|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当 k 为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4812 16.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4 3.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16 3.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即 16k16(2k1)2640.k7.即 k7 时，a2b 与 kab 垂直冲击名校A6 B5 C4 D33在ABC 中，P0是 AB 的中点，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则有()AABBC BAC
40、BCCABC90 DBAC904单位圆上三点 A，B，C 满足则向量的夹角为_答案：120第四节 平面向量应用举例考纲要求：1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1向量在几何中的应用(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：ababa1b2a2b10(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0a1b1a2b20.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：a，b ab|a|b|a1b1a2b2a21a22b21b22，|AB|x2x12y2y12.2向量在解析几何中的应用(1)向量 a(a1，a2)平行于直线 l，则直线
41、l 的斜率 ka2a1(a10)(2)若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线l 平行3平面向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用(2)向量在速度的分解与合成中的应用(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：WFs.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)答案：(1)(2)(3)(4)A钝角三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形3在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足4，则点 P的轨迹方程是_解析：由4，得(x，y)(1,2)4，即 x2y4.答案：x2
42、y404河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_解析：如图所示，v1 表示河水的速度，v2 表示小船在静水中的速度，v 表示小船的实际速度，则|v2|v1|2|v|22 26(m/s)答案：2 26 m/s()A内心 B外心 C重心 D垂心听前试做 由原等式，得即根据平行四边形法则，知是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心答案：C向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向
43、量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 已知在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为_解析：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPb，则 D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，(2，b)，(1，ab)，则25(3a4b)2.由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0ba，因此当 b34a 时，的最小值为 25.的最小值为 5.答案：5典题 2 已知点 P(
44、0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程 32x，32yb，xa32x，y32y32b，ax2，by3.把 ax2代入，得x2xx2 3y0，整理得y14x2(x0)所以动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x0)向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直
45、、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法如图所示，直线 x2 与双曲线 C：x24y21 的渐近线交于 E1，E2 两点记e1，e2，任取双曲线 C 上的点 P，若ae1be2(a，bR)，则 ab 的值为()A.14 B1 C.12 D.18解析：选 A 由题意易知 E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又点 P 在双曲线上，2a2b24(ab)21，整理可得 4ab1，ab14.向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，以
46、选择题、填空题或解答题的形式出现，且主要有以下几个命题角度：角度一：向量与三角恒等变换的结合典题 3 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.且 ab(0,1)，则 _，_.听前试做 因为 ab(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1，由此得，cos cos()由 0，得 0，又 0，所以 56，6.答案：56 6解决此类问题的关键是根据向量间的关系把问题转化为三角函数的条件求值，然后利用三角函数的相关公式求解角度二：向量与三角函数的结合典题 4 设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种运算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量
47、 m12，4，n6，0.点 P 在 ycos x 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动，且满足(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x)在区间6，3 上的最大值是()A4 B2 C2 2 D2 3(x0，y0)6，0 12x0，4y0 6，0 12x06，4y0，即 x12x06，y4y0，即 x02x3，y014y，所以14ycos2x3，即 y4cos2x3.因为点 Q 在 yf(x)的图象上运动，所以 f(x)4cos2x3，当6x3时，02x33，所以当 2x30 时，f(x)取得最大值4.答案：A解决此类问题的关键是利用向量的坐标运算，把问题转化为三角函数，化简三角函数关系
48、式，然后研究三角函数的性质角度三：向量与解三角形的结合典题 5 已知函数 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值听前试做(1)f(x)2cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos2x3，令 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，函数 yf(x)的单调递减区间为 k6，k3(kZ)(2)f(A)12cos2A3
49、1，cos2A3 1，又32A373，2A3，即 A3.a 7，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c，由得 b3，c2.解决此类问题的关键是利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题课堂归纳感悟提升方法技巧1用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决2牢记以下 4 个结论易错防范1注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价2注意向量共线和两直线
50、平行的关系3利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况全盘巩固一、选择题1在ABC 中，“ABC 为直角三角形”是“0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选 B 若ABC 为直角三角形，角 B 不一定为直角，即不一定等于 0；若0，则 ABBC，故角 B 为直角，即ABC 为直角三角形，故“ABC 为直角三角形”是“0”的必要不充分条件2已知点 M(3,0)，N(3,0)动点 P(x，y)满足0，则点 P的轨迹的曲线类型为()A双曲线 B抛物线C圆 D椭圆3已知非零向量 a，b，满足 ab，则函数 f(x)(axb)2(
51、xR)是()A既是奇函数又是偶函数B非奇非偶函数C偶函数D奇函数解析：选 C 因为 ab，所以 ab0，所以 f(x)(axb)2|a|2x22abx|b|2|a|2x2|b|2，所以函数 f(x)(axb)2 为偶函数A三边均不相等的三角形B直角三角形C等边三角形D等腰非等边三角形解 析：选C 由知，角A的 平 分 线 与BC垂 直，知，cos A12，A60.ABC 为等边三角形5在ABC 中，满足则角 C 的大小为()A.3 B.6 C.23 D.56二、填空题6在ABC 中，若则边 AB 的长等于_答案：27已知|a|2|b|，|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等
52、实根，则向量 a 与b 的夹角是_解析：由已知可得|a|24ab0，即 4|b|242|b|2cos 0，cos 12，又0，23.答案：238设向量 a(2cos，2sin)，b(cos，sin)，其中 0，若以向量 ab 与 a2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则 cos()_.解析：由题意知，|ab|a2b|，所以 a22abb2a24ab4b2，所以 2abb2，即 4cos()1，所以 cos()14.答案：14三、解答题9已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2SABC 3.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求 ac 的取值范围解：(1)由已知得
53、 acsin B 3accos B，tan B 3，0B，B3.(2)法一：由余弦定理得 4a2c22accos 3，即 4(ac)23ac(ac)23ac22(当且仅当 ac 时取等号)，解得 0b，2ac4，ac 的取值范围是(2,4法二：由正弦定理得 a 43sin A，c 43sin C，又 A C 23，a c 43(sin A sin C)43 sin A sin(A B)43sin A12sin A 32 cos A 432 sin A12cos A 4sinA6.0A23，6A656，12sinA6 1，ac 的取值范围是(2,410已知向量 asin x，32，b(cos x
54、，1)(1)当 ab 时，求 tan 2x 的值；(2)求函数 f(x)(ab)b 在2，0 上的值域解：(1)ab，sin x(1)32cos x0，即 sin x32cos x0，tan x32，tan 2x 2tan x1tan2x125.(2)f(x)(ab)babb2sin xcos x32cos2x112sin 2x3212cos 2x121 22 sin2x4.2x0，2x0，34 2x44，22 22 sin2x4 12，f(x)在2，0 上的值域为 22，12.冲击名校1设 O 是ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)若则BAC 的度数等于()A30 B45 C60 D902若
55、函数 f(x)2sin6x3(2x10)的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，则()A32 B16 C16 D32解析：选 D 函数 f(x)2sin6x3(2x10)的图象如图所示由 f(x)0，解得 x4，即 A(4,0)，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，根据对称性答案：324已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 mcos C2，sin C2，ncos C2，sin C2，且 m 与 n 的夹角为3.(1)求角 C；(2)已知 c72，SABC3 32，求 ab 的值解：(1)因为向量 mcos
56、 C2，sin C2，ncos C2，sin C2，所以 mncos2 C2sin2 C2，|m|cos2C2sin2C21，|n|cos2 C2 sinC221，又 m 与 n 的夹角为3，所以 cos 3 mn|m|n|cos2C2sin2 C2cos C12，因为 0C，所以 C3.(2)因为 SABC12absin C12absin 3 34 ab，所以 34 ab3 32，所以 ab6，由余弦定理得，cos Ca2b2c22ab，即12ab22abc22abab212 72212，解得 ab112.考点一：平面向量的线性运算2(2015陕西高考)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不
57、恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析：选 B 根据 ab|a|b|cos，又 cos 1，知|ab|a|b|，A 恒成立当向量 a 和b 方向不相同时，|ab|a|b|，B 不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C 恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D 恒成立3(2014福建高考)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于()考点二：平面向量基本定理及坐标表示1(2015新课标全国卷)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数
58、 _.解析：ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即 abta2tb，t，12t，解得12，t12.答案：122(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)解析：选 B 由题意知，A 选项中 e10，C，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B，事实上，a(3,2)2e1e2.答案：12 16考点三：平面向量的数量积1(2014新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5
59、解析：选 A 由条件可得，(ab)210，(ab)26，两式相减得 4ab4，所以 ab1.2(2015 安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)4(2015山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则()A32a2 B34a2 C.34a2 D.32a2解析：选 D 由已知条件得 3aacos 3032a2.A13 B15 C19 D21解析：选 A，故以 A 为原点，AB，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设 B0，1t，C(t,0)，则0，1t1t4t，0t(4,1)，故点
60、P 的坐标为(4,1)4，1t1(t4，1)4t1t174t1t 172 41713.当且仅当 4t1t，即 t12时(负值舍去)取得最大值 13.6(2014天津高考)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC.若23，则()A.12 B.23 C.56 D.712 7(2014山东高考)已知向量 a(1，3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为 6，则实数 m()A2 3 B.3 C0 D 3解析：选 B 根据平面向量的夹角公式可得 13 3m29m232，即 33m 3 9m2，两边平方并化简得 6 3m18，解得 m 3，经检验符合题意.答案：2 59(2014山东高考)在ABC 中，已知tan A，当 A6时，ABC 的面积为_解析：根据平面向量数量积的概念得当 A6时，根据已知可得23，故ABC 的面积为12sin 616.答案：1610(2014四川高考)平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.解析：由已知可以得到 c(m4,2m2)，且 cosc，acosc，b，所以 ca|c|a|cb|c|b|，又|b|2|a|，所以 2cacb，即 2m422m2 4(m4)2(2m2)，解得 m2.答案：2
