1、共 71 页1第四十七讲直线平面垂直的判定及其性质共 71 页2回归课本共 71 页31.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0的角,可见,直线和平面所成的角的范围是0,.2共 71 页4(2)直线与平面垂直定义:如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面互相垂直.判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.共 7
2、1 页5注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同于“无数条”.(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直线”.(3)直线与平面垂直是直线与平面相交的特例.共 71 页62.二面角(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.二面角的平面角:一个平面垂直于二面角l的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足,则AOB叫做二面角l的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.二面角的平面角的范围是:0180,当两个半平面重合时,=0;相交时0180;共面时=180.共 71 页7(2)两个平面垂直两个平面相交,如果它们所成的二面
3、角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)两个平面垂直的判定定理及性质定理平面和平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.平面和平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.共 71 页8考点陪练共 71 页91.(2010改编题)在三棱锥VABC中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是()A.VABC B.ABVCC.VBAC D.VAVB答案:C共 71 页102.(2010改编题)如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有()A.
4、4对B.3对C.2对D.1对答案:B共 71 页113.菱形ABCD中,BAD=60,如图所示沿对角线BD将BCD向上折起,使AC=AB,则二面角CBDA的余弦值的大小为()答案:A1111.36912ABCD共 71 页124.(2010全国卷)正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()23.3326.33ABCD共 71 页13解析:BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥DACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设
5、正方体棱长为a,则cosDD1H=,故选D.答案:D6633aa共 71 页145.(2010滨州月考)对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线共 71 页15解析:如果l,那么,内的直线m不可能与l异面,所以,选项D不正确.如果l与相交,那么,内的直线m不可能与l平行,所以,选项A不正确.如果l,那么,内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正确.在上述三种情况下,内总存在直线m,使得ml.答案:C共 71 页16类型一线线垂直解题准备:判定直线与直线垂直的方法:(1)计算两直线所成的角为90(包括平面角与异面直线所成的角).(2)线面
6、垂直的性质(若a,b,则ab).(3)ab=0ab.共 71 页17【典例1】如图,=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,求证:CDAB.分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.共 71 页18证明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD,同理EBCD.EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.共 71 页19反思感悟 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.共 71 页20类型二线面垂直的判定和性质解题准备:1.判定定理可以简单的记为“线线
7、垂直线面垂直”,定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”.2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即b.aba 共 71 页213.直线和平面垂直的性质:(1)垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行.共 71 页22【典例2】如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,MN分别是ABPC的中点,若PDA=45,求证:MN平面PCD.共 71 页23
8、证明 如图,取PD的中点E,连接AE,NE.EN分别为PDPC的中点,EN 又M为AB的中点,AMEN AM,四边形AMNE为平行四边形.MNAE.PA平面ABCD,PDA=45,PAD为等腰直角三角形.AEPD.1.2 CD1.2 CD 共 71 页24又CDAD,CDPA,ADPA=A,CD平面PAD,而AE平面PAD,CDAE.又CDPD=D,AE平面PCD.MN平面PCD.共 71 页25反思感悟 取PD的中点E,连接AE,则有MNAE,考虑证明AE平面PCD.共 71 页26证明线面垂直的常用方法:(1)利用线面垂直的定义:证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.(2)用
9、线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面.(4)用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.共 71 页27(5)用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.(6)用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.共 71 页28类型三面面垂直的判定和性质解题准备:利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在
10、,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.共 71 页29【典例3】如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上,下底面的中心,且A1在底面ABCD的射影是O.求证:平面O1DC平面ABCD.共 71 页30证明 如图.连接AC,BD,A1C1,B1D1,则O为AC,BD的交点,O1为A1C1,B1D1的交点.由平行六面体的性质知:A1O1OC,且A1O1=OC,四边形A1OCO1为平行四边形,A1OO1C.A1O平面ABCD,O1C平面ABCD.又O1C平面O1DC,
11、平面O1DC平面ABCD.共 71 页31反思感悟 证明面面垂直,可先证线面垂直,即设法先找到其中一平面的一条垂线,再证明这条垂线在另一平面内或与另一平面内一直线平行.共 71 页32类型四求直线和平面所成的角解题准备:斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线与它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)证(证所作为所求)求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.共 71 页33【典例4】已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长
12、都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()12.3332.33ABCD共 71 页342222111111111111113,236(),3236.3,BABC,D,AD,B AD.,AABC,a,ABA OA BABC,B DA ORt AB D,sin B ADAB2,32.3ABCB.aaAOaaaaB DAB解析 如图所示 过点作平面的垂线 垂足为连接则就是所求的线面角由题意 知三棱锥为正四面体 设棱长为则棱柱的高由于平面故在中故与底面所成角的正弦值为故选共 71 页35答案 B共 71 页36反思感悟 求线面角的关键是作出这个角.而作出
13、这个角就要过平面斜线上的一点作平面的垂线,一般方法是有直接法和根据面面垂直的性质定理的方法.共 71 页37类型五二面角解题准备:二面角大小的求法:由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的,因此求解二面角的大小的关键是作出它的平面角,将面面角的计算转化为一个平面上的线线角的计算.其基本步骤是作(作平面角)证(证所作即所求)算(计算平面角的大小).共 71 页38作二面角的平面角的常用方法有:(1)直接法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中心;(2)垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角
14、;共 71 页39(3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角的最基本最重要的方法.共 71 页40【典例5】如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,且PA=AB.共 71 页41(1)求平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小;(2)求二面角B-PC-D的大小;(3)求二面角A-PB-C的大小;(4)求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小.分析 根据所求的二
15、面角,选择适当的作二面角的方法作出二面角,然后求解.共 71 页42解 (1)PA平面ABCD.DC平面ABCD,DCPA.由正方形ABCD,有DCAD,DCPD(三垂线定理),故PDA即为平面PDC与平面ABCD所成二面角的平面角.PA=AB,AB=AD,PAD为等腰直角三角形.PDA=45,即平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小为45.共 71 页43(2)在RtPCB与RtPCD中,BC=DC,POC=PBC=,PC为公共边,PCBPCD.在平面PBC内作BEPC于点E,连接DE,则DEPC.BED即为二面角B-PC-D的平面角,且BE=DE.又设PA=AB=a,则PB=PD=BE=
16、DE=a22,3,a PCa2.3aa共 71 页44又BD=,在BDE中,cosBED=又0BED180,BED=120.即二面角B-PC-D的大小为120.2a2221.22BEDEBDBE DE 共 71 页45(3)解法一:PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,且PAAB=A,BC平面PAB.又BC平面PBC,平面PBC平面PAB.故二面角A-PB-C为直二面角.共 71 页46解法二:BCAB,BCPA,BC平面PAB.点B为点C在平面PAB上的射影,线段PB为PBC在平面PAB内的射影.二面角A-PB-C为直二面角.共 71 页47(4)PA平面ABCD,PAA
17、D.又ABCD为正方形,ADAB.从而有AD平面PAB,同理CB平面PAB.PAB是PCD在平面PAB上的射影.设平面PAB与平面PCD所成的二面角为,则cos=.PABPCDSS共 71 页4822PABPCD22PAABa,Sa,Sa,1222122.222cos,45.aa设则又 为锐角共 71 页49反思感悟 二面角的作法种数较多,要根据题设条件和所求,选择最优方法作角.在计算中,适当设棱长为一个字母表示长度,可简化计算步骤.共 71 页50类型六线面垂直中的探索性问题解题准备:立体几何中的开放题在近几年的各地高考试题中是出现较多的,开放题很好地考查了学生发散思维和探究学习的能力,解题
18、中常规作法一是根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置,再加以证明,二是假设所求的点或线存在,并用设定的参数表示出来,再根据其满足的条件确定参数.共 71 页51【典例6】如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB=60的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:ADPB;(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.共 71 页52解 (1)证明:取AD的中点G,连接PG,BG,BD.共 71 页53PAD为等边三角形,PGAD,又平面PAD平面ABCD,PG平面ABCD.在ABD中,A=60,AD=AB,A
19、BD为等边三角形,BGAD,AD平面PBG,ADPB.共 71 页54(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点,在PGC中作HFPG,交PC于F点,连接DF,FH平面ABCD,平面DHF平面ABCD.H是CG的中点,F是PC的中点,在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF平面ABCD.共 71 页55反思感悟 近年来开放型问题不断在高考试题中出现,这说明高考对学生的能力要求越来越高,这也符合新课标的理念,因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系,设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向.共 71 页56错源一抓不住线面垂直的本质【典例1】给出下面四个命题:(
20、1)若一直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面;(2)若一直线垂直于平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面;(3)若一直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面;(4)若一直线垂直于梯形的两腰所在直线,则这条直线垂直于梯形所在平面.其中正确的命题共有()A.1个B.2个C.3个D.4个共 71 页57错解 C (2)(3)(4)正确).剖析 错解对于线面垂直的概念理解不到位,没有抓住概念的本质.正解 B (3)(4)正确).共 71 页58错源二使用判定定理时忽视条件而致误【典例2】如图,ab,点P在a,b所确定的平面外,PAa于A,ABb于B.求证:PBb.
21、错证 因为ab,所以a,b确定一平面,因为PAa,ab,所以PAb,所以PA,所以PBb.共 71 页59剖析 本证法的错因在于没有正确使用线面垂直的判定定理,由PAa,PAb得PA,而忽略了ab.证明 因为PAa,ab,所以PAb,又因为ABb,PAAB=A,所以b平面PAB,故PBb.共 71 页60错源三防止主观臆断的失误【典例3】如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知ABC=45,SA=SB.求证:SABC.共 71 页61错解 作SOBC,垂足为O.因为侧面SBC底面ABCD,侧面SBC底面ABCD=BC,所以SO底面ABCD.又SO面SAO
22、,所以面SAO底面ABCD.因为SA面SAO,BC底面ABCD,所以SABC.共 71 页62剖析 错误原因在于解答到最后时无中生有地造了一个判定定理:如果两个平面垂直,那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.因这个结论是错误的,故而出错.共 71 页63正解 作SOBC,垂足为O,连接AO.由侧面SBC底面ABCD得SO底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又ABC=45,故AOB为等腰直角三角形,AOBO.因为SO平面SAO,AO平面SAO,SOAO=O,所以BC平面SAO.又SA平面SAO,所以SABC.共 71 页64技法一快速解题(利用三余弦公式)【典
23、例1】如图,过BOC的顶点O作该角所在平面的斜线,使AOB=AOC=60,若OA=OB=OC=1,BC=,求OA与平面BOC所成的角.2共 71 页65快解 由题设易知BOC是等腰Rt,BOC=90.由于AOB=AOC=60,故OA在平面BOC内的射影是BOC的平分线,则BOD=45,故cosAOD=,AOD=45即OA与平面BOC所成角为45.另解切入点 OB=OC=1,BC=,BOC是等腰Rt,可以证明ABC也是等腰直角三角形.22cos AOBcos BOD2共 71 页66分析 BOC与ABC都是等腰Rt,取其公共斜边的中点D,连接ODAD,则平面AOD平面BOC.在AOD内求A到OD
24、的距离或直接求AOD即可.共 71 页67解 OA=OB=OC=1,AOB=AOC=60AOB和AOC是全等三角形,则AB=AC=1.又BC=,故ABC和BOC都是等腰Rt.取BC的中点D,连接OD、AD,则ODBC,ADBC,易求得AD=OD=22.2共 71 页68在AOD中,OD2+AD2=1=OA2,故ADOD,从而AD平面BOC,AOD即OA与平面BOC所成的角.cosAOD=,AOD=45.即OA与平面BOC成45角.22222222ODAO 共 71 页69方法与技巧 这是常规解法,而快解是利用公式cos=cos1cos2.其中=AOB,1=AOD,2=BOD.得分主要步骤 证明
25、BOC和ABC是等腰Rt,求ODAD.由勾股定理,证明AOD是Rt,或直接由平面AOD平面BOC,得到AOD就是OA与平面BOC所成的角,这样要简捷.易丢分原因 在证明AOD是Rt后,要说明ADO是直角或ADOD,否则不能说明AD平面BOC,就不能把AOD看作直线OA与平面BOC所成的角.共 71 页70技法二垂直证明中的“垂直链”【典例2】如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AESB,AGSD.共 71 页71证明 SA平面ABCD,BC平面ABCD,SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB.AE平面SAB,BCAE.SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE.又BCSC=C,AE平面SBC.AESB.同理可证AGSD.
