1、第二单元 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 1.函数的概念 给定两个非空 A和B,如果按照某个 ,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 和它对应,那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数,记作 .其中,x叫做 ,x的取值范围A叫做函数的 ;集合f(x)|xA叫做函数的 .基础梳理数集 对应关系f唯一确定的数f(x)yf(x),xA自变量定义域 值域 2.构成函数的三要素:、和 .3.两个函数的相等 两个函数能成为同一个函数的充要条件是 与 都相同.4.常用的函数表示法:(1);(2);(3).值域 定义域对应关系定义域对应关系解析法列表法图象法5.映射的概念一般地,两个非空的集
2、合A与B间存在着对应关系f,而且对于集合A中的_，B中总有_的一个元素y与之对应,就称这种对应为从A到B的映射，记作“”.A中的元素x称为_，B中的对应元素y称为x的_.f：AB每一个元素x唯一原像像基础达标 1.在下列图象中，表示y是x的函数图象的是()A.B.C.D.B解析：由函数定义可知，自变量x对应着唯一的y值，所以错误，正确，故选B.2.（教材改编题）下列四个命题正确的有()设A=x|x是圆，B=x|x是三角形，对应关系f:每一个圆都对应它的外切三角形，则f:AB是集合A到B的映射；函数是其定义域到值域的映射；函数g(n)=3n+1(nN)的图象是一条直线;设集合A=a,b,B=0,
3、1,则从集合A到B的映射共有4个.A.1个B.2个C.3个D.4个B解析：错误，正确，故选B.3.下列各组函数中表示同一函数的是()A.f(x)x与g(x)()2B.f(x)|x|与g(x)C.f(x)x|x|与D.f(x)与g(t)t1(t1)x33x22,0(),0 xxg xxx 211xxD解析：A定义域不同，B对应关系不同，C定义域不同，D中f(x)x1(x1)与g(t)t1(t1)表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，故是相同的函数，故选D.21(1)(1)11xxxxx4.设,则f(f(2)的值为()A.0 B.1 C.2 D.31232(2)()log(1)(2)xe
4、xf xxx C解析：f(2)log3(221)1，又f(1)2e02，f(f(2)2.经典例题【例1】(1)函数y=f(x)(xD)的图象与一条直线x=a交点的个数是（）A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.有一个或两个(2)下列各组函数中，表示同一函数的是（）题型一函数的基本概念A.f(x)，g(x)B.f(x)x22x1，g(t)t22t1C.f(n)2n1(nZ)，g(n)2n1(nZ)D.f(x)，g(x)()211xx21x 2xx(1)当xaD时，根据函数的定义，有且只有一个交点；当xaD时，无交点故至多有一个交点，选B.(2)A项中求f(x)的定义域需解不等式组得x|
5、x1，求g(x)的定义域需解x210得x|x1或x1，定义域不同B项中，f(x)，g(t)虽然自变量用不同的字母表示，但定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数C项中，对应关系不同，所以不是同一函数D项中，f(x)|x|，g(x)x(x0)，两函数定义域不同综上可知，选B.解：题型二 分段函数求值【例2】(2010湖北)已知函数则()A.4 B.C.4 D.3log,(0)()2,(0)xx xf xx 1()9ff1414解：根据分段函数可得，则，所以B正确311()log299f 11()(2)94f ff已知若f(f(0)4a，则实数a的值为_变式21 23x+2,(x1)(x)=x+x
6、,(x1)faf(0)2，f(f(0)f(2)42a4a，所以a2.2 解析：题型三 求函数解析式【例3】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(2)已知f(1)x2 ，求f(x)的解析式.xx解：(1)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立解得f(x)2x7.27ab(2)方法一：设t 1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)方法二：x2 ()22 11(1)21，f(1)(1)
7、21(11)，f(x)x21(x1)xxxxxxxx变式31(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求f(x)；(2)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，求f(x)(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0知c0，即f(x)ax2bx.由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2(b1)x1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，故有解得ab，因此f(x)x2x.(2)2f(x)f(x)3x1，x与x同属于f(x)的定义域，以x代替x，得2f(x)f(x)3x1，由、解得f(x)x1.211abbab 121x【例4】我国
8、是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为(0 x7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？题型四 分段函数的应用解：用y表示本季度应交水费(单位：元)当0 x5时，y11.3x；当5x6时，应把x分成两部分：5与(x5)分别计算，第一部分收基本水费1.35，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x5)1.3(x5)200%1.3(x5)(1200%)，y21.351.3(x5
9、)(1200%)3.9x13；当6x7时，同理，y31.351.3(1200%)1.3(x6)(1400%)6.5x28.6，综上可得，1.3,(05)3.91.3,(56)6.528.6,(67)xxyxxxx链接高考(2010江苏)已知函数则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是_知识准备：1.知道f(x)是分段函数，所以f(1x2)，f(2x)的解析式需要讨论；2.分类讨论的数学思想；3.会解一元二次不等式21,(0)()1,(0)xxf xx(1，1)解析：函数f(x)的函数图象如下图所示，则由f(1x2)f(2x)可得1x22x0或1x202x，解得0 x1或1x0，即不等式f(1x2)f(2x)的解集为(1，1)22
