1、专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】【人教版】【题型1 一元二次方程的识别】9【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】11【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】12【题型4 一元二次方程的一般形式】13【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】14【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】15【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】17【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】18【知识点1 一元二次方程的定义】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.【题型1 一元二次方程的识别】【例1】（2021秋恩施市期末）下列方程中，一
2、定是一元二次方程的是（）3x2+70：ax2+bx+c0；（x2）（x+5）x21；3x-1x=0ABCD【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【解答】解：3x2+70一定是一元二次方程；ax2+bx+c0，当a0时不是一元二次方程；（x2）（x+5）x21整理得，3x90，是一元一次方程；3x-1x=0是分式方程故选：A【变式1-1】（2021秋蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（）3x2+x20；2x23xy+40；x2-1x=4；x21；x2-x3+3=0A2个B3个C4个D5个【分析】本题根据一元二次方程的定义解答
3、一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：符合一元二次方程定义，正确；方程含有两个未知数，错误；不是整式方程，错误；符合一元二次方程定义，正确；符合一元二次方程定义，正确故选：B【变式1-2】（2021秋荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（）x20； ax2+bx+c0； a2+ax0； （x+1）22x29； x2y23A2个B3个C4个D5个【分析】利用一元二次方程的定义判断即可【解答】解：x20是一元二次方程，符合题意
4、；ax2+bx+c0（a0）是一元二次方程，不符合题意；a2+ax0是二元二次方程，不符合题意；（x+1）22x29是一元二次方程，符合题意；x2y23是二元二次方程，不符合题意意故选：A【变式1-3】（2021秋义马市期中）下列方程：y2+2x0；x20；（x21）21；3y22y1；2x25xy+3y20；ax2+bx+c0（a，b，c是常数）；1x2+1x-20；（x+1）（x1）x21其中属于一元二次方程的有（）个A2B3C4D6【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【解答】解：y2+2x0含有两个未知数，不是一元二次方程；x20是一元二次方程；（x
5、21）21，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程；3y22y1是一元二次方程；2x25xy+3y20含有两个未知数，不是一元二次方程；ax2+bx+c0（a，b，c是常数），当a0时，不是一元二次方程；1x2+1x-20是分式方程；（x+1）（x1）x21，整理后不含未知数，不是一元二次方程所以属于一元二次方程的有，共2个故选：A【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【例2】（2021秋龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax60是一元二次方程，则a的取值范围是（）Aa1Ba0Ca 为任何实数D不存在【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案【解答】解：关于x的方
6、程（a2+1）x2+2ax60是一元二次方程，可得a2+1不可能为0，a 为任何实数故选：C【变式2-1】（2021秋河口县期末）已知（m2）xn3nx+20是关于x的一元二次方程，则（）Am0，n2Bm2，n2Cm0，n3Dm2，n0【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可【解答】解：（m2）xn3nx+20是关于x的一元二次方程，m20，n2，解得m2，n2故选：B【变式2-2】（2021秋龙江县期末）若方程ax2+2x12x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a20，求出即可【解答】解：
7、ax2+2x12x2，（a2）x2+2x10，关于x的方程ax2+2x12x2是一元二次方程，a20，即a2，故答案为：a2【变式2-3】（2022湘桥区一模）若方程（m1）x2+mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的不等式，进而得出答案【解答】解：方程（m1）x2+mx1是关于x的一元二次方程，m0且m10，m0且m1，故答案为：m0且m1【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】【例3】（2022春琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|1（m3）x50是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A3B3C3D2【分析】根据一元二次方程的定义即
8、可求出答案【解答】解：由题意可知：|m|-1=2m+30，解得：m3，故选：A【变式3-1】（2021秋望城区期末）若关于x的方程(m-2)xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，则m的值为（）Am2Bm2Cm2Dm2【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【解答】解：关于x的方程(m-2)xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，m-20m2-2=2，解得：m2故选：C【变式3-2】（2021秋太平区期末）已知关于x的方程（a3）x|a1|+x10是一元二次方程，则a的值是（）A1B2C1或3D3【分析】根据一元二次方程的定义得出a30且|a1|2，再求出a即
9、可【解答】解：关于x的方程（a3）x|a1|+x10是一元二次方程，a30且|a1|2，解得：a1，故选：A【变式3-3】（2022张家港市一模）已知x1是关于x的一元二次方程(m+2)xm2-2-3x-2a=0的解，则m1+a的值为 【分析】根据一元二次方程的定义可得m的值，再将x1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子计算即可【解答】解：由题意得：m+20m2-2=2，解得m2，故关于x的一元二次方程为4x23x2a0，因为x1是关于x的一元二次方程(m+2)xm2-2-3x-2a=0的解，所以432a0，解得a=12，所以m1+a=2-1+12=12+12=1故答案为：1【知识点2
10、一元二次方程的一般形式】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项【题型4 一元二次方程的一般形式】【例4】（2021秋双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A2x2，3，1B2x2，3，1C2x2，3，1D2x2，3，1【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c0（a，b，c是常数，a0）判断即可【解答】解：将一元二次方程2x2+3x1化成一般形式为：2x2+3
11、x10，它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，1，故选：B【变式4-1】（2021秋黔西南州期末）若（1m）xm2+1+3mx20是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（）A1B1C3D3【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数【解答】解：由题意得：1-m0m2+1=2解得：m1该方程的一次项系数为：3m3故选：C【变式4-2】（2021春花山区校级月考）一元二次方程2x2（a+1）xx（x1）1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为1，则a的值为（）A1B1C2D2【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为1，即可确定出a的值【解答】解：方程
12、整理得：x2ax+10，结果一次项系数为1，a1，即a1故选：B【变式4-3】（2021秋宝山区校级月考）若m2x2（2x+1）2+（n3）x+50是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m ，n 【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0【解答】解：由m2x2（2x+1）2+（n3）x+50知，（m24）x2+（n7）x+40根据题意知，m240，n70，解得m2，n7故答案是：2，7【知识点3 一元二次方程的解】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解一元二次方程的解也称为一
13、元二次方程的根【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（2022春温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a0有一个根为3，则a的值是（）A9B4.5C3D3【分析】把x3代入方程得96a+4a0，然后解关于a的一次方程即可【解答】解：把x3代入方程得96a+4a0，解得a4.5故选：B【变式5-1】（2021秋五常市期末）若方程8x2（k1）xk70的一个根为x0，则k的值是（）A7B316C4D7【分析】把x0代入方程中，就可以求出k的值【解答】解：方程8x2（k1）xk70的一个根为0，把x0代入此方程，有：k70，k7故选：D【变式5-2】（2021秋海淀区校级期末）若一元二次
14、方程（k1）x2+3x+k210有一个解为x0，则k为（）A1B1C1D0【分析】把x0代入方程（k1）x2+3x+k210得方程k210，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值【解答】解：把x0代入方程（k1）x2+3x+k210得方程k210，解得k11，k21，而k10，所以k1故选：C【变式5-3】（2021秋封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k2）x+k210的一个根是0，则k的值是（）A1B1C1D2【分析】把x0代入方程计算即可求出k的值【解答】解：把x0代入方程得：k210，解得：k1或k1，故选：C【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（202
15、1秋开州区期末）已知a是方程2x2x30的一个解，则6a23a的值为9【分析】把xa代入方程求得a2a的值，然后根据6a23a3（2a2a）即可求解【解答】解：把xa代入方程得：2a2a30，则2a2a3，则6a23a3（2a2a）9故答案是：9【变式6-1】（2021秋莲池区期末）若x1是关于x的一元二次方程ax2+bx10的一个根，则20222a+2b的值为 【分析】把x1代入方程ax2+bx10（a0）得ab1，再把20222a+2b变形为20222（ab），然后利用整体代入的方法计算【解答】解：把x1代入方程ax2+bx10（a0）得ab10，ab1，20222a+2b20222（ab
16、）202221202222020故答案为：2020【变式6-2】（2021秋盱眙县期末）若a是方程3x24x30的一个根，则代数式a2-43a+6的值为 【分析】根据方程解的定义得到3a24a30，变形得到a2-43a1，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得3a24a60，a2-43a1，a2-43a+61+67故答案为：7【变式6-3】（2022桂林模拟）已知m是一元二次方程x24x+20的一个根，则8m2m2+2的值是（）A4B6C8D10【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m24m2，再把8m2m2+2变形为2（m24m）+2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：m是一元
17、二次方程x24x+20的一个根，m24m+20，m24m2，8m2m2+22（m24m）+22（2）+26故选：B【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】【例7】（2022遂宁）已知m为方程x2+3x20220的根，那么m3+2m22025m+2022的值为（）A2022B0C2022D4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m2022，将代数式变形，整体代入求值即可【解答】解：m为方程x2+3x20220的根，m2+3m20220，m2+3m2022，原式m3+3m2m23m2022m+2022m（m2+3m）（m2+3m）2022m+20222022m20222022m
18、+20220故选：B【变式7-1】（2022春庐阳区校级期中）若a是方程x2x10的一个根，则a3+2a+2021的值为（）A2020B2020C2021D2021【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2a+1，再用a表示a3得到a32a+1，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：a是方程x2x10的一个根，a2a10，a2a+1，a3a（a+1）a2+aa+1+a2a+1，a3+2a+2021（2a+1）+2a+20212a1+2a+20212020故选：A【变式7-2】（2021秋泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x80的根，则a4+a3+8a1的值为（）A62B63C64D65【
19、分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值【解答】解：a是一元二次方程x2+x80的一个根，a2+a80a2+a8，a4+a3+8a1a2（a2+a）+8a18a2+8a164163，故选：B【变式7-3】（2021秋石鼓区期末）已知a是方程x2x10的一个根，则a43a2的值为 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把xa代入方程可得，a2a10，即a2a+1，a43a2（a2）23a2（a+1）23a2a2a10【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】
20、（2021秋曲靖期末）已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为3，那么关于y的一元二次方程12022（y2+1）+32（y2+1）+b的解y 【分析】根据关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的两个根为3，可得y2+1x29，于是得到结论【解答】解：关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的两个根为3，关于y的一元二次方程12022（y2+1）+32（y2+1）+b可得y2+1x29，解得y22和22故答案为：22和22【变式8-1】（2022启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx20的一个根是x2022，则一元二次方程a2（x+2）2+bx
21、+2b1必有一根为（）A2020B2021C2022D2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b1变形为a（x+2）2+2b（x+2）20，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx20的一个根是x2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）20的一个根是x2022，于是可判断一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b1必有一根为2020【解答】解：一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b1变形为a（x+2）2+2b（x+2）20，所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，因为关于x的一元二次方程ax2+2bx20的一个根是x2022，所以关于（x+2）的
22、一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）20的一个根是x2022，即x+22022，解得x2020，所以一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b1必有一根为2020故选：A【变式8-2】（2022春淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+50（a0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）5必有根为（）A2022B2020C2019D2021【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）5，设tx+1得到at2+bt+50，利用at2+bt+50有一个根为t2022得到x+12022，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）5必有一根为x2021【解答】解
23、：由a（x+1）2+b（x+1）5得到a（x+1）2+b（x+1）+50，对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）5，设tx+1，所以at2+bt+50，而关于x的一元二次方程ax2+bx+50（a0）有一根为x2022，所以at2+bt+50有一个根为t2022，则x+12022，解得x2021，所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）5有一根为x2021故选：D【变式8-3】（2021秋泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx30（a0）有一个根为x2021，则方程a（x1）2+bx3b必有一根为（）A2019B2020C2021D2022【分析】对于一元二次方程a（x1）2+b（x1）30，设tx1得到at2+bt30，利用at2+bt30有一个根为t2021得到x12021，从而可判断一元二次方程a（x1）2+bx3b必有一根为x2022【解答】解：对于一元二次方程a（x1）2+bx3b即a（x1）2+b（x1）30，设tx1，所以at2+bt30，而关于x的一元二次方程ax2+bx30（a0）有一根为x2021，所以at2+bt30有一个根为t2021，则x12021，解得x2022，所以一元二次方程a（x1）2+bx3b必有一根为x2022故选：D
