1、能力课时 突破高考常考的“两类”计算问题突破一“汽缸”类问题的解题技巧 汽缸类问题是热学部分典型的物理综合题，它需要考查气体、汽缸或活塞等多个研究对象，涉及热学、力学乃至电学等物理知识，需要灵活地应用相关知识来解决问题。1.解决“汽缸”类问题的一般思路(1)弄清题意，确定研究对象，一般地说，研究对象分为两类：一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)；另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。(2)分析清楚题目所述的物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程。(3)注意挖掘题目的隐含条件，如几何关系等
2、，列出辅助方程。(4)多个方程联立求解，对求解的结果注意检验它们的合理性。2.汽缸类问题的几种常见类型(1)气体系统处于平衡状态，需要综合应用气体定律和物体的平衡条件解题。(2)气体系统处于非平衡状态，需要综合应用气体定律和牛顿运动定律解题。(3)封闭气体的容器(如汽缸、活塞、玻璃管等)与气体发生相互作用的过程中，如果满足守恒定律的适用条件，可根据相应的守恒定律解题。(4)两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解。【例 1】2015新课标全国卷，33(
3、2)如图 1，一固定的竖直汽缸由一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞。已知大活塞的质量为 m12.50 kg，横截面积为 S180.0 cm2；小活塞的质量为 m21.50 kg，横截面积为 S240.0 cm2；两活塞用刚性轻杆连接，间距为 l40.0 cm；汽缸外大气的压强为 p1.00105 Pa，温度为 T303 K。初始时大活塞与大圆筒底部相距l2，两活塞间封闭气体的温度为 T1495 K。现汽缸内气体温度缓慢下降，活塞缓慢下移。忽略两活塞与汽缸壁之间的摩擦，重力加速度大小 g 取 10 m/s2。求：图1()在大活塞与大圆筒底部接触前的瞬间，缸内封闭气体的温度；()缸内封
4、闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强。解析()大小活塞在缓慢下移过程中，受力情况不变，汽缸内气体压强不变，由盖吕萨克定律得V1T1V2T2初状态 V1l2(S1S2)，T1495 K末状态 V2lS2代入可得 T223T1330 K()对大、小活塞受力分析则有 m1gm2gpS1p1S2p1S1pS2可得 p11.1105 Pa缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡过程中，气体体积不变，由查理定律得p1T2p2T3T3T303 K解得 p21.01105 Pa答案()330 K()1.01105 Pa 反思总结 当选取力学研究对象进行分析时，研究对象的选取并不唯一，可以灵活地选整体或
5、部分为研究对象进行受力分析，列出平衡方程或动力学方程。【变式训练】1.如图2所示，竖直放置的足够长的密闭汽缸，缸体与缸内理想气体的总质量m110 kg，活塞质量m22 kg，活塞横截面积S2103 m2，活塞上端与一根劲度系数k1103 N/m的弹簧相连。当汽缸下部被木柱支住时，弹簧刚好不伸长，封闭在汽缸内的气柱长l10.2 m，若外界大气压p01105 Pa，g取10 m/s2，问：图2(1)这时汽缸内气体的压强为多少？(2)将木柱拿开，待汽缸重新平衡后(温度保持不变)弹簧伸长多少？(3)汽缸下降的距离是多少？解析(1)对活塞进行受力分析，受重力 m2g，大气向下的压力 p0S，缸内气体向上
6、的压力 p1S，列平衡方程 p0Sm2gp1S，所以 p1p0m2gS(1105 2102103)Pa1.1105 Pa。(2)将木柱拿开后，对整个汽缸(包括活塞)受力分析，受弹簧拉力 kl，汽缸整体的重力(m1m2)g，列平衡方程得 kl(m1m2)g。l（m1m2）gk（102）101103m0.12 m。弹簧伸长 0.12 m。(3)将木柱拿开后，对汽缸受力分析，受重力 m1g，大气向上的压力p0S，缸内气体向下的压力 p2S，列平衡方程 p0Sm1gp2S。所以 p2p0m1gS(1105 10102103)Pa0.5105 Pa。缸内的气体原状态压强为 p1，体积 V1l1S，后来气
7、体压强为 p2，体积 V2l2S，根据玻意耳定律得 p1V1p2V2，l2p1l1p2 1.11050.20.5105m0.44 m。汽缸的下降量应为弹簧的伸长量与空气柱长度的变化量之和，sl(l2l1)0.12(0.440.2)m0.36 m。答案(1)1.1105 Pa(2)0.12 m(3)0.36 m 突破二“液柱”类问题的求解技巧 这类问题的关键是求被液柱封闭的气体的压强和体积，体积一般通过几何关系求解。封闭气体的压强如果系统处于平衡状态，一般求压强采用平衡法和取等压面法。如果系统有加速度，一般选与气体接触的液柱为研究对象，进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求出封闭气体的压强。【例
8、2】2015新课标全国卷，33(2)如图3所示，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭；A侧空气柱的长度为l10.0 cm，B侧水银面比A侧的高h3.0 cm。现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为h110.0 cm时将开关K关闭。已知大气压强p075.0 cmHg。图3(1)求放出部分水银后A侧空气柱的长度；(2)此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度。解析(1)以cmHg为压强单位。设A侧空气柱长度l10.0 cm时的压强为p；当两侧水银面的高度差为h110.0 cm时，空气柱的长
9、度为l1，压强为p1。由玻意耳定律得plp1l1 由力学平衡条件得pp0h 打开开关K放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为p0，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随之减小，直至B侧水银面低于A侧水银面h1为止。由力学平衡条件有p1p0h1 联立式，并代入题给数据得l112.0 cm(2)当A、B两侧的水银面达到同一高度时，设A侧空气柱的长度为l2，压强为p2。由玻意耳定律得plp2l2 由力学平衡条件有p2p0 联立式，并代入题给数据得l210.4 cm 设注入的水银在管内的长度h，依题意得h2(l1l2)h1 联立式，并代入题给数据得h13.2
10、cm 答案(1)12.0 cm(2)13.2 cm【变式训练】2.如图4所示，内径均匀，截面积为5 cm2的U形管，右侧B管管口封闭，左侧A管上端开口，管中装入水银，并在管口装配有光滑的、质量不计的活塞，使两管中均封入l11 cm长的空气柱。活塞上、下气体的压强p076 cmHg，这时两管内水银面的高度差h6 cm，今用细绳缓慢地向上拉活塞，使两管中水银面相平，求：图4(1)活塞在A管中向上移动的距离是多少；(2)这时力F应多大才能使活塞静止在该位置上。解析(1)A部分气体原状态压强pA76 cmHg，体积为VAlS，末状态压强pA，体积VAlS。B 部分气体原状态压强 pBpAh，体积 VB
11、lS，末状态压强 pBpA，体积 VB(lh2)S，根据玻意耳定律，有 pAVApAVA，即7611SpAlSpBVBpBVB，即(766)11SpA(1162)S联立得7670 l14，解得 l15.2 cm活塞在管中移动的距离为 x，则 xlh2lx7.2 cm(2)从式中可得出 pA701114cmHg55 cmHg对活塞受力分析，可知 p0SpASFF(p0pA)S（7655）1.013105765104 N14 N答案(1)7.2 cm(2)14 N 1.如图5所示，两端封闭的U形管，内径均匀，两边水银柱等高。水银柱上方封闭的空气柱长度l130 cm，l238 cm，现从阀门C处注入
12、水银，结果左管中水银面上升5 cm，右管中水银面上升6 cm，求封闭端气体原来的压强。图5 解析 设原来两部分气体压强都为p0(因水银面等高)，左管中原来的体积V1l1S，右管中气体体积V2l2S。末状态左管的气体压强p1，体积为V1(l15)S，右管中气体体积V2(l26)S，压强为p2p11，根据玻意耳定律 左管中气体p0l1Sp1(l15)S 右管中气体p0l2S(p11)(l26)S 即30p025p1 38p032p132 联立式得p196 cmHg p056p180 cmHg。答案 80 cmHg 2.(2016广东惠州调研)如图6甲，一质量为M、横截面积为S的光滑活塞静止时密封一
13、定量的理想气体，此时活塞距汽缸底部距离为H。现将汽缸倒转悬挂(活塞不脱离汽缸)如图乙，求活塞平衡时到缸底的距离。(已知大气压强为P0)图6 解析 开口向上时，对活塞受力分析 Mgp0Sp1S解得 p1Mgp0SS汽缸倒置后，对活塞受力分析 Mgp2Sp0S解得 p2p0SMgS由玻意耳定律得，p1HSp2H2S联立解得 H2p0SMgp0SMgH答案 p0SMgp0SMgH3.由两个传热性能很好的直径不同的圆筒组成如图7所示的装置，在两筒内各有一活塞，其横截面积分别为SA200 cm2，SB40cm2，两活塞可以分别在两筒内无摩擦地运动，但不漏气，其间用长为l的硬质细杆相连，两活塞的外侧与大气
14、相通，大气压强为p0105 Pa；将两个圆筒水平固定后，用水平力F5 000 N向右作用在活塞A上，B活塞上不加外力，恰能使两活塞间气体都移到小圆筒中。若撤去A活塞上的外力，在B活塞上加一水平向左的外力F，又恰可使两活塞间的气体都移到大圆筒中，求F为多大。图7 解析 当 F 作用在 A 活塞上时，被封闭气体的压强为 p1，体积V1lSB由于两活塞平衡，则有 Fp0SAp1SBp1SAp0SB得 p1p0FSASB当力 F作用在 B 上时，设被封闭气体的压强为 p2，体积V2lSA，由于两活塞平衡，则有 Fp0SBp2SAp2SBp0SA得 p2p0FSASB根据玻意耳定律 p1V1p2V2则p
15、0FSASB lSBp0FSASB lSA整理上式得 Fp0(SASB)(1SBSA)SBSAF105(21020.4102)(115)155 000 N280 N答案 280 N 4.在室温条件下研究等容变化，实验装置如图8所示，由于不慎使水银压强计左管水银面下h10 cm处有长为l4 cm的空气柱。开始时压强计的两侧水银柱最高端均在同一水平面，温度计读数为7，后来对水加热，使水温上升到77，并通过调节压强计的右管，使左管水银面仍在原来的位置。若大气压为标准大气压，求：图8(1)加热后左管空气柱的长度l；(2)加热后压强计两管水银面的高度差h。解析 研究的对象为两部分气体，一部分为球形容器中
16、的气体A，这部分气体做的是等容变化。另一部分气体B，即为压强计左管中封入的气体，这部分气体做的是等温变化。(1)根据题意pBp0(hl)(76104)cmHg90 cmHg 而pApBh80 cmHg A 部分气体在做等容变化时，根据查理定律，有pAT1pAT2解得 pAT2T1pA273772737 80 cmHg100 cmHgB 部分气体的压强 pBpA10110 cmHg根据玻意耳定律 pBVBpBVB解得 lpBlpB904110cm3.27 cm。(2)压强计左、右两管水银面之差 h，有h103.2776110解得 h(110103.2776)cm 20.73 cm。答案(1)3.27 cm(2)20.73 cm
