1、 微专题 例析反证法的应用与综合（1）【学生版】学习笔记了解与理解新高考；明确与体验新教材知道与掌握新知识；知识梳理结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论有时直接验证这一点并不是一件容易的事；所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法；反证法是数学中常用的证
2、明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “为假”是不可能发生的，即结论是正确的这样的证明方法叫反证法；”所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题；反证法的运用模式可以简要概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定；应用反证法证明主要有三步：否定结论推导出矛盾结论成立.
3、实施的具体步骤是：第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设；第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立；反证法证明数学问题的理解反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。本文从十二个方面，分别举例说明【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法；学习笔记（2）另外，宜用
4、反证法证明的题型还有：一些基本命题、基本定理；易导出与已知矛盾的命题；“否定性”命题；唯一性”命题；“必然性”命题；至多”“至少”类的命题；涉及“无限”结论的命题等等。典题例析一、理解与体验反证法的步骤与格式例1、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题主要考查反证法的要点与逻辑连接词的规范使用；例2、先阅读教材，理解与再述与反证法说明“是一个无理数”；请模仿这种方法，说明是无理数搜索
5、、阅读与理解：“无理数”的由来；【解析】为什么不可能是一个有理数？不妨模仿课本用代数方法来证明这个问题；假设是一个有理数，那么可以得到，其中、是整数且、互质且，这时，就有：；于是（*），则是的倍数再据（*）式设，其中是整数，就有：，也就是：，所以也是的倍数，可见、不是互为质数，与前面所假设的与互质相矛盾，因此，不可能是一个有理数；同理，假设是一个有理数学习笔记则（、是整数且、互质且），则，两边同时平方得：_，所以：，可得：，所以：_，因为：_；所以：是一个无理数；【提示】；【答案】【说明】本题考查了用反证法证明无理数，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键；体验用反证法证明代数问题的思路、步骤
6、与规范表述；二、反证法与代数式的化简与判别例3、若、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ）A不都小于 B有两个小于C都小于 D都大于【提示】；【答案】【解析】【说明】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须否定；学习笔记例4、用反证法证明：（1）已知：，求证：a必为负数（2）求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和；【提示】（1）首先假设，则，与
7、已知矛盾，因此a必为负数（2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案【解析】【说明】本题考查了对于代数式中不是“数值型”、“概念型”问题，正面难以证明时，可以考虑利用反证法，是解题关键；三、反证法与方程、等式的求解例5、用反证法证明命题，“若整系数一元二次方程有有理数根，则中至少有一个偶数”；第一步应假设 【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题考查用反证法证明命题的方法，求出“中至少有一个是偶数”的否定，是解题的关键学习笔记例6、已知，证明：方程没有负数根。【说明】本题整合了方程、方程的解、函数与方程思想、反证法的交
8、汇；方程与方程组是初等数学中有关“等式问题”的基本内容；涉及“至少”、“至多”、“不能”、“无解”等情形，可以考虑使用与用好反证法；四、反证法与不等式的判别与证明例7、用反正法证明：“若，则或”时，需假设 【说明】本题考查了不等式性质、集合运算性质与反证法的交汇；例8、已知，求证：不能同时大于；学习笔记【说明】对于不等式判别与证明中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法；五、反证法与数列的判别与证明例9、已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：数列的所有项都不大于；数列的所有项都大于；数列的公比等于
9、；数列一定是等比数列其中正确结论的序号是_例10、若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。（1）在无穷数列中，求数列的通项公式；（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.学习笔记【说明】本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，综合性强方法归纳反证法主要用来解决如下类型的数学问题.（1）否定性命题：用直接法往往难以下手，而用反证法常常出奇制胜，（2）唯一性命题：结论以“唯一”的形式
10、出现，可考虑用反证法证明.（3）“至多”“至少”类命题：结论以“至多”或“至少”形式出现，可考虑用反证法证明.（4）某些不等式或等式证明：运用反证法书写相对简洁；（5）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象；（6）命题结论的反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手，而反证法容易上手；巩固练习1、已知 和 是无理数,求证: 也是无理数。【错证】依题设 和 是无理数.因为，无理数加无理数还是无理数, 所以， 也是无理数.2、若x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由学习笔记3、求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.
11、 4、用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x25xm0与2x2x6m0至少有一个有实数根5、已知,且,求证与中至少有一个小于2.学习笔记6、设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列cn不是等比数列7、设数列是公比为的等比数列,是它的前项和,证明:不是等比数列.8、等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.（1）求数列an的通项an与前n项和Sn；（2）设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列学习笔记9、证明：若、，且，则、中至少有一个不小于0.10、已知数列满足：数列满足:.（1）求数列的通项公式;（2）证明:数列中任意三项不可能成
12、等差数列. 微专题 例析反证法的应用与综合（1）【教师版】学习笔记了解与理解新高考；明确与体验新教材知道与掌握新知识；知识梳理结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论有时直接验证这一点并不是一件容易的事；所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法；反证法是数学
13、中常用的证明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “为假”是不可能发生的，即结论是正确的这样的证明方法叫反证法；”所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题；反证法的运用模式可以简要概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定；应用反证法证明主要有三步：否定结论推导出矛盾
14、结论成立.实施的具体步骤是：第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设；第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立；反证法证明数学问题的理解反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法；学习笔记（2）另外，宜用反证法证明的题型还有
15、：一些基本命题、基本定理；易导出与已知矛盾的命题；“否定性”命题；唯一性”命题；“必然性”命题；至多”“至少”类的命题；涉及“无限”结论的命题等等。典题例析一、理解与体验反证法的步骤与格式例1、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【提示】注意理解命题的前提、条件、结论；【答案】A；【解析】至少有一个实根的否定为：没有实根；【说明】本题主要考查反证法的要点与逻辑连接词的规范使用；例2、先阅读教材，理解与再述与反证法说明“是一
16、个无理数”；请模仿这种方法，说明是无理数搜索、阅读与理解：“无理数”的由来；【解析】为什么不可能是一个有理数？不妨模仿课本用代数方法来证明这个问题；假设是一个有理数，那么可以得到，其中、是整数且、互质且，这时，就有：；于是（*），则是的倍数再据（*）式设，其中是整数，就有：，也就是：，所以也是的倍数，可见、不是互为质数，与前面所假设的与互质相矛盾，因此，不可能是一个有理数；同理，假设是一个有理数学习笔记则（、是整数且、互质且），则，两边同时平方得：_，所以：，可得：，所以：_，因为：_；所以：是一个无理数；【提示】仿照题干方法进行证明即可【答案】；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛
17、盾；【解析】假设是一个有理数，则（、是整数且、互素且），则，两边同时平方得：，所以：，可得：，所以：，因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，所以：是一个无理数；【说明】本题考查了用反证法证明无理数，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键；体验用反证法证明代数问题的思路、步骤与规范表述；二、反证法与代数式的化简与判别学习笔记例3、若、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ）A不都小于 B有两个小于C都小于 D都大于【提示】根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可【答案】C；【解析】根据题意得：用反证法证明时应先假设这三个正
18、数都小于；故选：C；【说明】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须否定；例4、用反证法证明：（1）已知：，求证：a必为负数（2）求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和；【提示】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数（2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案【解析】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾，所以，假
19、设不成立，所以，a必为负数；（2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为，则，因为，所以，假设不成立，所以，的整数k不能化为两个整数的平方和；【说明】本题考查了对于代数式中不是“数值型”、“概念型”问题，正面难以证明时，可以考虑利用反证法，是解题关键；学习笔记三、反证法与方程、等式的求解例5、用反证法证明命题，“若整系数一元二次方程有有理数根，则中至少有一个偶数”；第一步应假设 【提示】根据用反证法证明命题时，假设命题的否定成立，而“中至少有一个是偶数”的否定是：“中没有一个是偶数”，从而得到答案；【答案】中没有一个是偶数；【解析】用反证法证明命题时，假设命题的否定成
20、立 中至少有一个是偶数，它的否定是： 都不是偶数，故答案为中没有一个是偶数【点睛】本题考查用反证法证明命题的方法，求出“中至少有一个是偶数”的否定，是解题的关键例6、已知，证明：方程没有负数根。【提示】由题设该方程“无法”直接求解；考虑与反证法交汇；【解析】假设是方和的负数根,则且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根；【说明】本题整合了方程、方程的解、函数与方程思想、反证法的交汇；方程与方程组是初等数学中有关“等式问题”的基本内容；涉及“至少”、“至多”、“不能”、“无解”等情形，可以考虑使用与用好反证法；四、反证法与不等式的判别与证明例7、用反正法证明：“若，则或”时，需假设 【提示】根据反证
21、法的定义与集合、不等式性质即可得到答案；【答案】 且学习笔记【解析】“x1或y1”的否定为：“x1且y1”， 故答案为：x1且y1；【说明】本题考查了不等式性质、集合运算性质与反证法的交汇；例8、已知，求证：不能同时大于；【提示】注意利用不等式性质，等价转化“不能同时大于”；【解析】证法1、:假设三式同时大于,即有,三式同向相乘,得又,同理，,因此与假设矛盾,原命题正确.证法2、假设三式同时大于,同理三式相加,得,与假设矛盾,原命题成立.【说明】对于不等式判别与证明中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法；五、反证法与数列的判别与
22、证明例9、已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：学习笔记，且是等比数列，给定以下四个结论：数列的所有项都不大于；数列的所有项都大于；数列的公比等于；数列一定是等比数列其中正确结论的序号是_【答案】【解析】因为，所以，下证等比数列的公比.若，则，则当时，此时，与矛盾；若，则，则当时，此时，与矛盾.故，故.下证，若，则，于是，由得，所以中至少有两项相同，矛盾.所以，所以，所以正确的序号是.例10、若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。（1）在无穷数列中，求数列的通项公式；（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知无穷数列为等差数
23、列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.【解析】（1），得，即，且.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，因此，；学习笔记（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.假设数列是“等比源数列”，则存在三项、，设.由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.得，化简得，等式两边同时除以得，且、，则，则为偶数，为奇数，等式不成立.因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；（3）不妨设等差数列的公差.当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；当时，则且，数列中必有一项，为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，且有，即，当时，即当，时，
24、等式成立，所以，数列中存在、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.【说明】本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，综合性强方法归纳反证法主要用来解决如下类型的数学问题.（1）否定性命题：用直接法往往难以下手，而用反证法常常出奇制胜，学习笔记（2）唯一性命题：结论以“唯一”的形式出现，可考虑用反证法证明.（3）“至多”“至少”类命题：结论以“至多”或“至少”形式出现，可考虑用反证法证明.（4）某些不等式或等式证明：运用反证法书写相对简洁；（5）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象；（6）命题结论的反
25、面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手，而反证法容易上手；巩固练习1、已知 和 是无理数,求证: 也是无理数。【错证】依题设 和 是无理数. 因为，无理数加无理数还是无理数, 所以， 也是无理数.【提示】上数错证错因有二；（1）没有使用反证法的推理模式，即没有假设命题的结论是错误的; （2）论据错误，所用论据“无理数与无理数的和是无理数”，这是假命题；因为两个无理数的和不一定是无理数；因此，原题的真假性仍无法断定；利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误,并用假设命题进行推理，若没有用假设命题推理而推出矛盾结果，则推理过程是错误的；用反证法证明命题时，推导出的矛盾必须是明显的；【解析】如下：
26、假设 不是无理数,则 是有理数.设 是互质的正整数）. 则 .即 , 即 ，即 . 所以，因为 是有理数,而 是无理数，矛盾，所以， 也是无理数；2、若x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由【解析】假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则abc0.学习笔记而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，因为30，且无论x，y，z为何实数，(x1)2(y1)2(z1)20，所以abc0.这与假设abc0矛盾；因此，a，b，c中至少有一个大于0.3、求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.
27、【证明】假设bc0，下面分情况进行讨论：(1)若b0，c0，则方程变为x20，此时方程有两个相等的实数根为x1x20，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾(2)若b0，c0，则方程变为x2c20，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾(3)若b0，c0，则方程变为x2bx0，此时方程的根为x10，x2b，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾综上所述，假设错误所以当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.4、用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x25xm0与2x2x6m0至少有一个有实数根【解析】假设存在实数m，使得这两个方程都没有实数根，则
28、解得无解与假设存在实数m矛盾故无论m取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根5、已知,且,求证与中至少有一个小于2.【解析】（反证法）假设与都不小于2,即且.且,则.就得到,这与已知条件矛盾.学习笔记因此,两数与都不小于2是不可能的, 即这两个数与中至少有一个小于2.6、设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列cn不是等比数列【证明】假设cn为等比数列，则当n2时，(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)，所以a2anbnban1an1an1bn1bn1an1bn1bn1.设an，bn的公比分别为p，q(pq)因为aan1an1，bbn1bn1，所以2anbnan
29、1bn1bn1an1bnqanp，所以2.因为当pq时，2或2，与2矛盾，所以cn不是等比数列【说明】当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便7、设数列是公比为的等比数列,是它的前项和,证明:不是等比数列.【提示】是否定性命题，此类题从正面突破往往比较困难，用反证法较为合适；【证明】假设是等比数列,则,即.,即,这与矛盾,故不是等比数列.8、等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.（1）求数列an的通项an与前n项和Sn；（2）设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【提示】第（1）问考查等差数列的通项公式与前n
30、项和公式，应用ana1(n1)d和Snna1n(n1)d两式求解第（2）问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用反证法证明【解析】（1）设公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)（2）证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bbpbr，学习笔记即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，()2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列9、证明：若、，且，则、中至少有一个不小于0.【提示】利用给定条件借助反证法证明、都小于0不可能即可得解.【解析】假设、都
31、小于0，即，则有，因、，且，于是得，与矛盾，从而假设是错的，即、都小于0是错的，则原结论成立，所以、中至少有一个不小于0.10、已知数列满足：数列满足:.（1）求数列的通项公式;（2）证明:数列中任意三项不可能成等差数列.【提示】第（1）问是由递推关系求通项公式，可通过构造法得特殊数列，再求出其通项公式；第（2）问同上例一样也是否定性命题，即证明数列6。中的任意三项不可能成等差数列.若运用综合法证明，这任意三项如何体现？如果能从反面思考，假设数列b，存在三项按某顺序成等差数列,则根据等差中项公式立即可得出一个关系式,从这个关系式出发进行变形，看一看是否会得到一个错误的结论，从而得出原命题是正确的结论，【解析】（1）由题意可知,令,则,又,则数列是首项为,公比为的等比数列，学习笔记即,故.又,故，.（2）证明：假设数列存在三项按某顺序成等差数列，由于数列是首项为,公比为的等比数列,于是有,则只可能有成立.,两边同乘,化简得.由于式左边为奇数,右边为偶数,故式不可能成立,导致矛盾,故数列中任意三项不可能成等差数列.
