1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精练)【题组一 极值(点)】1(2021全国高二课时练习)下列函数中存在极值的是( )ABCD【答案】B【解析对于A：在和上单调递减，不存在极值；故选项A不正确；对于B：由可得，由可得；由可得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，故选项B正确；对于C：是常函数，不具有单调性，所以不存在极值，故选项C不正确；对于D：在上单调递增，不存在极值，故选项D不正确；故选：B.2(2021全国高二课时练习)函数f(x)ln xx在区间(0，e)上的极大值为( )AeB1eC1D0【答案】C【解析f(x)的定义域为(0，)，f(x) 1.令f(x)0，得
2、x1.当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，得x3，令f(x)0得1x0，f(x)在R上单调递增，所以f(x)无极值当k0时，由f(x)0，得xln k；令f(x)0，得xln k，此时函数单调递增；令f(x)0，得x0，f(x)a，所以当a0时，f(x)，则2aa2.当x变化时，的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)00f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2
3、)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)00f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.14(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.【答案】(1)a，b0，c；(2)x1是极
4、大值点，x1是极小值点，理由见解析，极大值1，极小值1.【解析】(1)3ax22bxc.x1是函数f(x)的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得，又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)f(x)x3x，x2(x1)(x1)，当x1时，0，当1x1时，0，得x3，令f(x)0，得1x3，故f(x)在(，1)，(3，)上单调递增，在(1，3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(1)，极小值为f(3)3，又f(4)，f(4)，故f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(4).4(2021全国)求下列函数的最值：(1)，；(2)，；(3)，【答案】(1)最小值为，最
5、大值为2；(2)最大值为2，最小值为；(3)最大值为，最小值为.【解析】(1)由题意，知，在上恒大于0，即在上单调递增，当时，取最小值为；当时，取最大值为2的最小值为，最大值为2(2)，令，得或，又，的最大值为2，最小值为(3)，令，得在上，当变化时，与的变化情况如下表：1-0+递减极小值递增在上，当时，取得极小值，也是最小值，且又，在上的最大值为，最小值为5(2021全国)求下列函数的最值：(1)；(2)，；(3)，【答案】(1)最小值为，最大值为2； (2)最大值为2，最小值为；(3)最大值为，最小值为.【解析】(1)由题意，函数可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得最大
6、值，最大值为，又由，所以函数的最小值为，所以的最小值为，最大值为(2)由题意，函数，可得，令，解得或，又由，所以的最大值为2，最小值为(3)由函数，可得，令，解得，在上，当变化时，与的变化情况如下表：10单调递减极小值单调递增所以在上，当时取得极小值，也是最小值，且，又因为，所以，所以，所以在上的最大值为，最小值为【题组四 已知最值求参数】1(2021全国)若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】当时，则当时，；当时，所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即当时，函数在上单调递增，由题意可知，得，解得，此时，；当时，且当时，合乎题意；当时，函数在上单调递减，此
7、时，合乎题意综上所述，实数的取值范围是，故选：D2(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小值为_.【答案】【解析】f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0.即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24，经检验符合题意，f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增当m1，1时，f(m)minf(0)4.故答案为：3(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，上的最小值是，求a的值【答案】a.【解析】函数的定义域为1，令f(x)0，得xa，当
8、a1时，f(x)0，函数f(x)在1，上是增函数，f(x)minf(1)ln1a，a(，1，故舍去当时，令f(x)0得xa，函数f(x)在1，a上是减函数，在a，上是增函数，f(x)minf(a)lna.a(1，)，故符合题意当a时，f(x)0，函数f(x)在1，上是减函数，f(x)minf()ln，a，)，故舍去，综上所述a.4(2021全国高二课时练习)设函数.(1)若，求函数的递减区间；(2)当时，记函数，求函数在区间上的最小值【答案】(1)；(2)当时，最小值为；当时，最小值为.【解析】(1)当时，由，得.故函数的递减区间为(2)，.，当时，在上为减函数因此，有最小值；当时，在上，在上
9、，在上为减函数，在上为增函数故g(x)有最小值.综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在上的最小值为.5(2021全国高二课时练习)已知函数，当x2，6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围【答案】.【解析】由可得，当x变化时，随x的变化如下表：x(，1)1(1，3)3(3，) 00 极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，当x2，6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c542c，；当c0时，c542c，.6(2021全国高二课时练习)已知h(x)x33x29x1在区间k，2上的最大值是28，求k的取值范围【答案】k3.
10、【解析】h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9，令h(x)0，得x13，x21，当x变化时h(x)及h(x)的变化情况如下表x(，3)3(3，1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)30)的导数的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是_.【答案】15x3y20【解析】2x24ax32(xa)232a2，max32a25，a0，a1.2x24x3，2435.又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)，即15x3y20.故答案为：15x3y204(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)x3ax2b的图象
11、上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.【答案】(1)f(x)x33x22；(2)答案见解析；(3)2c0.【解析】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(
12、0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)2，f(x)的最小值为f(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)的最小值为f(2)2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值为f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2).在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则即，解得2c0.5(2021全国高二课时练习)已
13、知函数在与处都取得极值(1)求，的值；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)，；(2)【解析】(1)由题设，又，解得，(2)由，知，即，当时，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，实数的取值范围为6(2021西藏日喀则区南木林高级中学高二期末(理)已知函数(I)若是的极值点，求的单调区间；(II)求a的范围，使得恒成立【答案】(I)的单调增区间为，减区间为；(II)【解析】(I)函数的定义域为，因为是的极值点，所以，解得a=3，当a=3时，令
14、，得或；令，得，所以函数的单调增区间为；单调减区间为.(II)要使得恒成立，即时恒成立，设，则，当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，故，得；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，；此时，不合题意；当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，此时，不合题意；综上所述：时，恒成立.当x1时，函数取得极大值f(1)1，当x1时，函数取得极小值f(1)1.7(2021全国)设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0，3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x(0，3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围【答案】(1)；(2
15、)【解析】(1) 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增 当时，取极大值又，时，的最大值为 对任意的，有恒成立，即或 c的取值范围为(2)由(1)知，即或， c的取值范围为8(2021全国高二专题练习)设函数，.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围【答案】(1)见解析(2) .【解析】(1)由题意可得，当时，或；当时，；所以f(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为，在处取得极大值，的极大值为；在处取得极小值，的极小值为.(2) 若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，结合(1)中的单调性以及极值点可知，故实数a的取值范围.9(2021全国高二专题练习)已知在处取得极值(1)求实数的值(2)若关于的方程的区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围【答案】(1)2；(2)【解析】(1)，当时，取得极值，所以，解得，；(2)令，则，在上的变化状态如下表：0极大值由上表可知函数在处取得极大值，极大值为.要使在区间上恰有两个不同的实数根， 只需，即 所以，故实数的取值范围是
