1、5.2 导数的运算(精讲)思维导图常见考法考点一 基本函数的求导【例1】(2021全国)求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.【答案】(1)y=12x11；(2)y；(3)y；(4)y3xln 3；(5)y.【解析】(1)y(x12)12x11(2)y(x4)4x5.(3)y()()(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)给出下列结论：sin ；若y，则y2x3；若f(x)3x，则 f(1)3；若，则.其中正确的个数是( )A1B2C3D4【答案】A【解析】(为常数，则，所以错误；y，所以
2、正确；因为，所以，所以，所以错误；，所以错误.综上，正确的只有1个.故选：A.2(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)y=x-3；(2)y=3x；(3)y=log5x；(4)；(5)；(6)y=lnx；(7)y=ex.【答案】答案见解析【解析】(1)y=-3x-4.(2)y=3xln3.(3)y=.(4)y=sinx，y=cosx.(5)y=0.(6)y=.(7)y=ex.3(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】(1),；(2)，；(3),；(4)，；(5)，.考点二 导数的运
3、算法则【例2】(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3)y(x1)(x2)(x3)；(4)y.【答案】(1)4x36x5；(2)；(3)3x212x11；(4).【解析】(1)y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5；(2)；(3)法一：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11；法二：由(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x
4、6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；(4)法一：y.法二：，y.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3.【解析】(1)，所以，；(2)；(3).2(2021全国高二课时练习)根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】(1) ；(2) ；(3)；(4)因为，所以；(5)首先对函数化简，故.3(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4)f(x)=+ 【答
5、案】(1) ； (2) ； (3)； (4).【解析】(1)因为，则；(2)因为，则；(3)因为，则；(4)因为，则考点三 复合函数的求导【例3】80(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)y(2x1)4；(2)y；(3)ysin(2x)；(4)y102x3.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(解：(1)原函数可看作y，2x1的复合函数，则；(2)y可看作y，12x的复合函数，则；(3)原函数可看作y，的复合函数，则；(4)原函数可看作y，2x3的复合函数，则【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)y(2x1)5；(2)y；(3)y；(4)y
6、x；(5)ylg(2x23x1)；(6)y.【答案】(1)10(2x1)4；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)设u2x1，则yu5，yxyuux(u5)(2x1)5u4210u410(2x1)4；(2)设u13x，则yu4，yxyuux(u4)(13x)4u5(3)12u512(13x)5；(3)设u13x，则y，yxyuux(13x)(3)；(4)yxx().设t，u2x1，则t，txtuux(2x1)2.y.(5)设u2x23x1，则ylg u，yxyuux(2x23x1)；(6)设u，v2x，则yu2，u，yxyuuvvx2ucos v2cos24cos.2(2021
7、全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)(4)；(5)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【解析】(1)；(2)；(3)因为，所以(4)(5)考点四 求导数值【例4】(1)(2021全国高二专题练习)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)( )A3B2eCD(2)(2021全国高二课时练习)若函数f(x)x3f(1)x22x5，则f(2)_【答案】(1)D(2)2【解析】(1)因为f(1)为常数，所以，所以f(1)2ef(1)3，所以，故选：D(2)f(x)x22f(1)x2，f(1)12f(1)2f(1)1f(x)x
8、22x2f(2)222222故答案为：2【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知函数的导函数为，且满足，则( )ABCD【答案】C【解析】因为，所以，解得故选：C2(2021宜昌英杰学校高二月考)函数的导函数，满足关系式，则的值为( )ABCD【答案】B【解析】，令，故选：B3(2021涟水县第一中学)设函数，则=( )A0BCD以上均不正确【答案】A【解析】由题设，则.故选：A4(2021全国高二课时练习)已知f(x)x2，g(x)x.若m满足f(m)g(m)3，则m的值为_.【答案】1【解析】解：由已知得f(x)g(x)2x1，又f(m)g(m)2m13，故m1.故答案为：1.5(2
9、021全国高二课时练习)已知函数，则满足的的值为_【答案】【解析】，又，解得，又，故故答案为：考点五 切线方程【例5】(1)(2021全国高二课时练习)曲线在处切线的斜率为( )A2BCD(2)(2021全国高二课时练习)曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为( )ABCD(3)(2021全国高二课时练习)(多选)曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为( )ABCD(4)(2021全国高二课时练习)(多选题)过点P(2，6)作曲线f(x)x33x的切线，则切线方程为( )A3xy0B24xy540C3xy0D24xy540【答案】(1)B(2)A(3)AB(4)AB【解析】(1)由
10、，得：，所以，故选：B(2)由已知得：，切线的斜率设切点为，则，可得，又，切点为.故选：A(3)由题设，ye2x(2cos 3x3sin 3x)，y|x=02，则所求的切线方程为y2x1，设直线l的方程为y2xb，则，解得b6或4.直线l的方程为y2x6或y2x4.故选：AB(4)设切点为(m，m33m)，f(x)x33x的导数为f(x)3x23，则切线斜率k3m23，由点斜式方程可得切线方程为ym33m(3m23)(xm)，将点P(2，6)代入可得6m33m(3m23)(2m)，解得m0或m3.当m0时，切线方程为3xy0；当m3时，切线方程为24xy540.故选：AB.【一隅三反】1(20
11、21全国高二课时练习)函数的斜率等于的切线有( )A条B条C条D不确定【答案】B【解析】，设切点为，解得：，在点和点处有斜率等于的切线，满足题意切线有条.故选：B.2(2021重庆万州纯阳中学校高二月考)(多选)已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为( )ABCD【答案】AB【解析】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB3(2021河北邢台)(多选)过点且与曲线相切的切线斜率可能为( )A0BCD1【答案】ABC【解析】因为，所以曲线在点处的切线方程为.将代入，得，即，解得或2或，因为，所以过点
12、且与曲线相切的切线斜率可能为0，.故选：ABC.4(2021全国高二课时练习)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程是_.【答案】4xy30【解析】由题设可得：y(3ln x1)x3ln x4.切线的斜率ky|x=14，切线方程为y14(x1)，即4xy30.故答案为：4xy305(2021安顺市第三高级中学(理)已知.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过原点的切线方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由求导得：，当时，由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程；(2)由题意知，点不在曲线上，设切点为，由(1)知曲线在点B处切线斜率为，切线方程为，
13、即，而切线过点，即，解得，于是得所求切线方程为，所以曲线过原点的切线方程为.考点六 已知切线方程求参数【例6】(1)(2021全国高二课时练习)已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )ABCD(2)(2021全国高二课时练习)设直线yxb1是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为( )A1ln 2Bln 2Cln 2D2【答案】(1)D(2)C【解析】(1)，由题意，知曲线在点处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，.故选：D(2)，设切点为(x0，y0)，根据导数几何意义，得，解得x02，代入曲线方程得y0ln 2.故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线
14、方程得，解得bln 2.故选：C.【一隅三反】1(2021安徽滁州高二期中(文)已知曲线在处的切线与直线平行，则( )AB1C2D0【答案】B【解析】由题意得，直线的斜率为.，故选:B2(2021全国高二课时练习)设曲线在点处的切线与直线平行，则实数( )A1BCD2【答案】A【解析】.当时，即切线斜率，由切线与直线平行可得所以.故选：A3(2021新余市第一中学(文)直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】设是直线曲线上任意一点，由求导得：，于是得切线的斜率，当且仅当时取“=”，显然，为钝角，又在上单调递增，于是得，所以倾斜角的取值范围是.故选：C4(2021北京市景山学校通州校区高二期中)已知函数，则曲线过点的切线有( )A0条B1条C2条D3条【答案】C【解析】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，又， 又方程的判别式为，且， 方程有两个不同的解， 曲线过点的切线有两条，故选：C.
