1、星期六(综合限时练)2016年_月_日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为Sn，a5a624，S11143，数列bn的前n项和为Tn，满足2an1Tn(a11)(nN*)(1)求数列an的通项公式及数列的前n项和；(2)是否存在非零实数，使得数列bn为等比数列？并说明理由解(1)设数列an的公差为d，由S1111a6143，a613，又a5a624，解得a511，d2.因此an的通项公式是ana5(n5)22n1(nN*)，所以，从而前n项的和为.(2)因为a13，2an1Tn(a11)(nN*)，所以4nTn2T
2、n4n.当n1时，b1；当n2时，bnTnTn14n1.所以bn14bn(n2)，若bn是等比数列，则有b24b1，而b1，b2，所以2，与b24b1矛盾，故数列bn不是等比数列2(本小题满分12分)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分别以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”，若从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率
3、；(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该学校(人数可视为很多)任选3人，记表示抽到“非常了解”的人数，求的分布列及数学期望.解(1)众数：8.6；中位数：8.75.(2)设Ai表示所取3人中有i个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件A，则P(A)P(A0)P(A1).(3)的可能取值为0，1，2，3.P(0)；P(1)C；P(2)C；P(3).所以的分布列为：0123PE()01230.75.另解：的可能取值为0，1，2，3，则B，P(k)C，所以E()30.75.3(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B底面
4、ABC，侧棱AA1与底面ABC成60的角，AA12，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且BEBC1.(1)求证：GE侧面AA1B1B；(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的余弦值(1)证明连接B1E并延长，交BC于点F，连接AB1，AF，B1EC1FEB，BEEC1，BFBC，点F为BC中点G为ABC的重心，GEAB1，AB1平面AA1B1B，GE平面AA1B1B，GE侧面AA1B1B.(2)解侧面AA1B1B底面ABC，A1AB60，AA1AB2，取AB中点O，则A1O平面ABC，以O为坐标原点，以射线OC、OB、OA1分别为x，y，z轴的正方向建立
5、空间直角坐标系则A(0，1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，A1(0，0，)，B1(0，2，)，C1(，1，)，G.(，0，)，E，.设平面B1GE的法向量为n(a，b，c)，则由n.又平面ABC的法向量m(0，0，1)，cosm，n，故平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的余弦值为.4(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)过点Q，且离心率e，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2，2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)由已知得解得a22，b21，椭圆E的方程为y21.
6、(2)假设存在直线l：ykxm(k0)交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，交x轴于C(c，0)，交y轴于D(0，d)由2，2，得，即C、D为线段MN的三等分点，由ykxm，取y0，得c，即C，取x0，得dm，即D(0，m)联立得(12k2)x24kmx2m220，x1x2，C、D为线段MN的三等分点，则，解得k2，k.当k时，方程化为2x22mx2m220.解得x1，x2.由2，解得m.同理求得当k时，m.满足条件的直线l存在，方程为yx或yx.5(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2(a1)2xa23a1ex(aR)(1)若函数f(x)在(2，3)上单调递增，求实数a的取值范
7、围；(2)若a0，设g(x)ln xx，斜率为k的直线与曲线yg(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1x2)两点，证明：(x1x2)k2.(1)解 f(x)ex，当a0时，x(2，3)，f(x)在(2，3)上单调递增；当a0，f(x)在(2，3)上单调递增，f(x)a(xa)(x)ex0，()当1a0时，得ax，依题意知(2，3)，得a0；()当a1时，f(x)(x1)2ex0，不合题意，舍去；()当a1时，得xa依题意知(2，3)，得a3.综上得：a(，3.(2)证明当a0时，g(x)ln xxln x1，k，要证(x1x2)k2，即证(x1x2)2，x2x10，即证ln.令
8、h(x)ln x(x1)，则h(x)0，h(x)在(1，)单调递增，h(x)h(1)0.ln.即(x1x2)k2成立6请同学从下面所给的三题中选定一题作答A(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D.(1)求ADF的度数；(2)若ABAC，求ACBC.解(1)AC为圆O的切线，BEAC，又CD是ACB的平分线，ACDDCB，BDCBEACACD，即ADFAFD.又BE为圆O的直径，DAE90，ADF(180DAE)45.(2)BEAC，ACBACB，ACEBCA，.又ABAC，BACB30，
9、RtABE中，tan Btan 30，.B(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标解(1)曲线C的直角坐标方程为1，cos2化简为：cos sin 4，直线l的直角坐标方程为xy4.(2)设点P的坐标为(2cos ，sin )，得P到直线l的距离d.令sin ，cos ，则d.当sin()1时，dmax.此时2k，kZ，cos cossin ，sin sincos ，即点P的坐标为.C(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设关于x的不等式|2xa|x3|2x4的解集为A.(1)若a1，求A；(2)若AR，求a的取值范围解(1)当x时，2x1x32x4，x2；当3x时，12xx32x4，3x0；当x3时，12xx32x4，x3.综上，原不等式的解集Ax|x0，或x2(2)当x2时，|2xa|x3|02x4成立当x2时，|2xa|x3|2xa|x32x4，即|2xa|x1，得xa1或x，所以a12或a1，得a2，综上，a的取值范围为(，2
