1、4.4 数学归纳法(精练)【题组一 增项问题】1(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为( )ABCD【答案】B【解析】当时，左端为当时，左端为因为所以从到左端需要增乘的代数式为，故选：B.2(2021全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1aa2a2n1”在验证n1时，左端计算所得项为( )A1aB1aa2C1aa2a3D1aa2a3a4【答案】C【解析】由知，当时，等式的左边是.故选：C.3(2021全国)用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成( )A假设当时成立，再推出当时成立B假设当时成立，再推出当时成立C假设当时成立，再推
2、出当时成立D假设当时成立，再推出当时成立【答案】B【解析】第二步假设当时成立，再推出当时成立.故选：B.4(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是( )ABCD【答案】B【解析】因为，由数学归纳法可知：第一步需要证明时该不等式成立，所以第一步需要验证的不等式是，故选：B.5(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk( )Aa1(k1)dBCka1dD(k1)a1d【答案】C【解析】假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d.故选: C6(202
3、1杭州市实验外国语学校高中部高二期中)用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是( )ABCD【答案】A【解析】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选A.7(2021全国)用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是( )ABCD【答案】B【解析】由题意，所以.故选：B.8(2021陕西省黄陵县中学高二月考(理)用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为( )ABCD【答案】C【解析】当时，左边，当时，左边，所以左边增加分母是连续的正整数所以共增加了项所以的假设证明时，不等式左边需增加的项数为故选：C9(2021全国)用数学归
4、纳法证明1aa2an (a1，nN*)，在验证n1时，左边计算所得的式子是( )A1B1aC1aa2D1aa2a3【答案】B【解析】当n1时，左边计算得出 故选：B10(2021河南信阳高中高二月考(理)用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上( )ABCD【答案】C【解析】当时，等式左端为，当时，等式左端为，左端应在的基础上加上.故选：C.11(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是( )A(2k+1)+(2k+2)B(2k-1)+(2k+1)C(2k+2)+(2k+3)D(2k+
5、2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+(2k+1)，所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加，即1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选：C12(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明，则当时，等式左边应该在的基础上加上( )ABCD【答案】D【解析】当n=k时，等式左端，当n=k+1时，等式左端，增加了项故选：D13(2021全国)用数学归纳法证明下列等式：要验证当时等式成立，其左边的式子应为()ABCD【答案】C【解析】由题意，当时，左边故选：C
6、14(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是( )A第一步应该验证当时不等式成立B从“到”左边需要增加的代数式是C从“到”左边需要增加项D从“到”左边需要增加的代数式是【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.【题组二 等式的证明】1(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明：【答案】见解析【解析】(1)当时，左边=，右边=，等式成立，(2)假设当时，等式成立，即，当时，+，即当时等式也成立.，由(1)(2)可知：等式对任何都成立，故.2
7、(2021全国)用数学归纳法证明：(1)；(2)；(3)【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析.【解析】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，故时等式成立，综上可知，等式成立.(2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，故时等式成立，综上可知，等式成立.(3) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时， ，故时等式成立，综上可知，等式成立.【题组三 不等式的证明】1(2021全国高二课时练习)证明：不等式，恒成立.【答案】证明见解析.【解析】当时，成立假设时，不等式成立那么时，即时，该不
8、等式也成立综上：不等式，恒成立.2(2021全国高三专题练习)证明：对于一切自然数都有.【答案】证明见解析【解析】(1)当时，成立；当时，成立；当时，成立.(2)假设当时不等式成立，即，当时，.因为，即，所以，即当时，时仍成立.由(1)(2)所述，原不等式得证.3(2021全国高三专题练习)证明不等式12 (nN*)【答案】证明见解析【解析】当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立假设当nk(kN*)时，不等式成立，即，当nk1时，所以当nk1时，不等式成立综上，原不等式对任意nN*都成立4(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析；【解析】(1)当时，左边，右边
9、，不等式成立.(2)假设当，时，不等式成立，即有，则当时，左边，又即，即当时，不等式也成立.综上可得，对于任意，成立.5(2021全国高二课时练习)试用数学归纳法证明.【答案】证明见解析【解析】(1)当时，左边，右边，不等式成立；(2)假设当时，原不等式成立，即，当时，即，所以，当时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立6(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明11n(nN*)【答案】见解析【解析】(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)和(
10、2)可知，命题对所有nN*都成立【题组四 数列的证明】1(2021全国高二课时练习)已知数列an满足：，点在直线上(1)求的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想【答案】(1)，；(2)证明见解析.【解析】(1)点在直线上可知，数列满足： ，可猜得(2)当时，成立，假设当时，成立，则当时，成立，就是说，猜想正确；综上，2(2021河北曹妃甸一中高二期中)已知数列的前n项和为，其中且.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并证明【答案】(1)，；(2)猜想，证明见解析.【解析】(1)由题意，数列满足，且，可得， 即，又由，可得，可得.(2)由，猜想：，证明：当时，由(
11、1)可知等式成立；假设时，猜想成立，即，当时，由题设可得，所以，又由，所以，所以，即当时，命题也成立，综上可得，命题对任意都成立.3(2021安徽金安六安一中高二月考(理)已知数列的前项和，满足，且(1)求、；(2)猜思的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】(1)，；(2)猜想，证明见解析【解析】(1)对任意的，且当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；(2)由(1)猜想，下面用数学归纳法加以证明：当时，由(1)知成立；假设当时，成立当时，所以，且，所以，即当时猜想也成立综上可知，猜想对一切都成立4(2021全国高二课时练习)已知数列的前项和为，且.(1)求、；
12、(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)，；(2)，证明见解析.【解析】(1)，当时，解得，即有；当时，解得，则；当时，解得，则；(2)由(1)猜想可得数列的通项公式为.下面运用数学归纳法证明.当时，由(1)可得成立；假设，成立，当时，即有，则，当时，上式显然成立；当时，即，则当时，结论也成立.由可得对一切，成立.5(2021全国)猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】，证明见解析【解析】由可得，得，推测下面用数学归纳法证明：当时，左边，右边，结论成立假设时等式成立，有，则当时，故当时，结论也成立由可知，对任何都有【题组五 整除问题】1(20
13、21陕西渭滨(理)用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除【答案】见解析【解析】证明：(1)当时，能被9整除，故当时， 能被9整除(2)假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除2(2021陕西碑林西北工业大学附属中学高二月考(理)用数学归纳法证明：能被整除【答案】证明见解析.【解析】当时，又，能被整除；假设当时，能被整除，即，那么当时，能被整除；综上所述：能被整除.3(2021河南高二月考(理)用两种方法证明：能被49整除【答案】证明见解析.【解析】证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除方法二：(1)当时，能被49整除(2)假设
14、当，能被49整除，那么，当，因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由(1)(2)知，能被49整除4(2020上海高二课时练习)求证：对于自然数能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当时，能被整除.假设当时结论成立，即能被整除.则当时，由于能被整除，所以能被整除.所以当时，结论成立.综上所述，对于自然数能被13整除.5(2022上海高三专题练习)求证：当，且时，能被整除.【答案】证明见解析；【解析】证明：当时，原式为，显然能被整除，假设当时能被整除，设上式除以所得的商为，则因而，当时命题成立，当，且时，能被整除6(2022上海高三专题练习)证明能被9整除.【答案】证明见解析；【解析】证明(1)当时，是9的倍数.命题成立.(2)假设当时，命题成立，即能被9整除.那么当时，由假设能被9整除，能被9整除.所以能被9整除.即是命题也成立.(3)根据(1)，(2)可知能被9整除.7(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明：能被133整除 【答案】见解析【解析】证明： 当时，能被133整除，所以 时结论成立，假设当时，能被133整除，那么当时，由归纳假设可知能被133整除，即 能被133整除所以时结论也成立综上，由得，能被133整除.
