1、选择性必修第一册 综合测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分)1(2021浙江高二单元测试)已知空间三点，若向量与的夹角为60，则实数( )A1B2CD【答案】B【解析】，由题意有即，整理得，解得故选：B2(2021全国高二课时练习)已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( ).ABCD【答案】C【解析】抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，则，且该双曲线的焦点在轴上，解得，所以，双曲线的标准方程为，该双曲线的渐近线方程为.故选：C.3(2021全国高二课时练习)给定下列命题：若是平面的斜线，直线垂直于在内的射影，则；若是平面的斜线，
2、平面内的一条直线垂直于在内的射影，则；若是平面的斜线，且垂直于在另一个平面内的射影，则；若是平面的斜线，且垂直于在内的射影，则.其中，正确的个数是( )ABCD【答案】B【解析】对于，必须在内才满足，故错误； 对于，也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立，故错误；对于，应垂直于在内的射影，故错误；对于，三垂线定理的内容：平面内一条直线如果垂直于平面的一条斜线在这个平面内的射影，则这条直线与平面的斜线垂直，故正确.即正确的只有一个.故选：B.4(2021全国高二课时练习)如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】
3、过作的平行线交于，连接，(或其补角)就是异面直线与所成角，因为，所以，所以.故选：D.5(2021全国高二课时练习)如图，在三棱柱中，侧棱底面,是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是A当点为线段的中点时，平面B当点为线段的三等分点时，平面C在线段的延长线上，存在一点，使得平面D不存在点，使与平面垂直【答案】D【解析】是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点，由于，是中点，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，在坐标平面上，直线方程为，即，在直线上，设，则，又，若平面，则，与矛盾，直线上不存在点，使与平面垂直故选：D6(2021山西朔州市高二期末(文)已知双曲线：的
4、左、右焦点分别为，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为( )ABC2D【答案】D【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60，即，双曲线定义有，离心率.7(2021四川成都七中高三开学考试(文)已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为ABCD【答案】A【解析】如图取与重合，则由直线同理由,故选A.8(2021黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中)设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为( )ABCD【答案】A【解
5、析】圆的圆心为，由垂径定理可知，直线的斜率为，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，因此，圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：A.二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9(2021浙江高二单元测试)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则( )A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】对于A中，若，因为且，所以平面，所以，所以，此时不成立，所以A错误；对于B中，如图所示，取的中点
6、，连接，由条件可知：，且,所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以B正确；对于C中，连接， 因为为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为梯形，由题得该等腰梯形的上底下底，腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；对于D中，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误故选：BC10(2021浙江高二单元测试)已知圆：和圆：则( )A两圆相交B公共弦长为C两圆相离D公切线长【答案】AB【解析】圆的标准方程为：，圆心为(5，5)半径为 圆 的标准方程为：，圆心为(3，-1)半径为 所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公
7、共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB11(2021浙江高二单元测试)为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，过，作切线交于，则( )A的最大值为B的最大值为C的轨迹是D的轨迹是【答案】AC【解析】根据题意，作图如下：不妨设点的坐标为，点坐标为，故切点所在直线方程为：；又点为椭圆上的一点，故切线方程所在直线方程为：；故可得.即不妨设直线交于点，故设直线方程为：，故，又，故可得三角形的面积，当且仅当，且时，即时取得最大值.因为点在椭圆上，故，又，故可得，整理得.故动点的轨迹方程为：.故选：.12(2021全国高二专题练习)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方
8、红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，下列结论正确的是( )A卫星向径的取值范围是B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确
9、；，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.故选：.三、填空题(每题5分，4题共20分)13(2021浙江高二单元测试)已知平面直角坐标系中，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是_.【答案】【解析】如图，分别以点为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点.因为，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为；以点为圆心，为半径的圆的方程为.联立方程，解得(负舍)， 所以点的坐标是 故答案为：14(2021沈阳市第八十三中学高二月考)已知在平行六面体中，为的中点.给出下列四个说法：为异
10、面直线与所成的角；三棱锥是正三棱锥；平面；.其中正确的说法有_.(写出所有正确说法的序号)【答案】【解析】对，由题意ADBC，则(或其补角)是与所成的角，由已知=120，则与所成的角为60，错误；对，根据条件，三棱锥的每个面都是正三角形，则它为正四面体，也为正三棱锥，正确；对，正确；对，根据，又因为，所以，所以CE与BD不垂直，错误；故答案为：.15(2021抚松县第一中学高二月考)已知A(1，0)，B(1，2)，直线l：2xaya0上存在点P，满足|PA|+|PB|，则实数a的取值范围是 _【答案】【解析】因为，且，由图可知，点P的轨迹为线段AB， 将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得
11、a2，a，由直线l的方程可化为：2xa(y+1)0，所以直线l过定点C(0，1)，画出图形，如图所示：因为直线AC的斜率为kAC1，直线BC的斜率为kBC3，所以直线l的斜率为k，令，解得a2，所以a的取值范围是，2故答案为：，216(2021全国高二课时练习)如图，以为直径的圆有一内接梯形，且若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为_【答案】【解析】连接，设，作于点，则，所以，梯形的周长当，即时，有最大值，这时，故答案为：四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17(2021江苏高二专题练习)如图，已知点，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两
12、侧，过A、B作直线l的垂线，分别交l于C、D两点(1)当C、D重合时，求直线l的方程；(2)当时，求线段CD的长度【答案】(1)；(2).【解析】(1)当、重合时，直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为；(2)设直线的方程为，可知，则，所以：，解得，由勾股定理可得，所以.18(2021湖南高三)如图，在三棱锥中，底面，(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小【答案】(1)证明见解析；(2)60【解析】(1)因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；(2)解法一：由(1)可知，为二面角的平面角，所以，又
13、，所以，过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，在中，所以，故，所以直线与平面所成的角为60解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，设，()，则，因为，所以，解得，所以，故，设平面的法向量为，因为，由，得，令，则，所以为平面的一个法向量，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为6019(2021邵东市第一中学高三月考)已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求证线段必过定点，并求定点的坐标.点为坐标原点，求面积的最大值.
14、【答案】(1)；(2)证明见解析，定点；.【解析】(1)由题可知：，所以，故椭圆的标准方程为；(2)由题意知，由对称性知，必在轴上，设直线方程：，设，联立方程得，得，所以，所以，又，所以直线方程为：，令，则，所以直线过定点.由中，所以，又易知，所以，令，则，又因为在单调递减，所以，.20(2021北京市朝阳区北京教育学院朝阳分院高二期中)如图，在三棱锥中，底面为等边三角形，且平面平面(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值；(3)判断在线段上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求的值；若不存在，说明理由【答案】(1)4；(2)；(3)存在，或.【解析】(1)如
15、图，过P作，平面平面，平面在中，三棱锥的体积(2)取的中点分别为M，N，连接在等边中，O、N分别为的中点，由(1)可知：平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设为平面的一个法向量，则且，令，则x轴平面，取作为平面的法向量设二面角的大小为，由图可知二面角的余弦值为(3)在线段上存在点Q，使得为直角三角形设则，当时，则，得，解得或1当时，Q与O重合，为直角三角形，且；当时，Q与M重合，为直角三角形，且；当时，则，得，解得，不符合题意，应舍去；当时，则，得，解得，不符合题意，应舍去综上可知：在线段上存在点Q，使得为直角三角形，且或21(2021江西九江市九江一中高二开学考试)已知过点的动直线l与圆相交
16、于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线相交于N(1)当 PQ=时，求直线l的方程；(2) 是否为定值？如果是，请求定值；若不是请说明理由.【答案】(1)或；(2)是，【解析】(1)直线l的斜率不存在时，显然直线满足题意；直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由，得到直线l的方程为，即，圆心到直线l的距离d= =1，解得，所以直线l为，综上，满足题意的直线l为或；(2)设l的方程，设，由和，得，所以，所以，所以，由，得，所以，所以，所以22(2021绥德中学高二月考(理)设椭圆的离心率，过点A(1，).(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)为定值.【解析】(1)因为，所以，将A(1，)代入得，又，由解得，所以椭圆的方程为；(2)设，直线得方程为， 联立，得，则，由B、E、M三点共线，可知，即，同理可得：，则，所以.所以为定值.
