1、考点35立体几何中的向量方法一、解答题1. (2011福建卷理科20)(本小题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD.四边形ABCD中,ABAD,AB+AD=4,CD=,.(I)求证:平面PAB平面PAD;(II)设AB=AP.(i)若直线PB与平面PCD所成的角为,求线段AB的长;(ii)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.【思路点拨】(1)证面面PAB中的直线AB,从而可推得面PAB,也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直;(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,然后用空间向量法进行求解探究.【精讲精析】解法1:(I)因为平面A
2、BCD,AB平面ABCD,所以PA,又,所以平面PAD.又平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图).在平面ABCD内,作交于点E,则.在中,.设,则.由AB+AD4得AD,所以,(i)设平面PCD的法向量为由得取,得平面PCD的一个法向量. 即解得或(舍去,因为),所以AB(ii)假设在线段AD上存在一个点G(如下图),使得点G到点P、B、C、D的距离都相等,设G(0,m,0)(其中),则由得即.由得由消去,化简得由于方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.解法2:(I)同解法1.()(i)同解法1 .(
3、ii)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由GCGD,得从而即CG,所以.设,则,AGAD-GD.在中,这与GBGD矛盾.所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.2. (2011江苏高考22)(本小题满分10分)如图,在正四棱柱中,点是的中点,点在上,设二面角的大小为。(1)当时,求的长;(2)当时,求的长。【思路点拨】本题考察的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力,解决本题的关键是正确的建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标,然后利用空间向量的运算求解。【精讲精析】解析:以D为原点,DA为x轴正半
4、轴,DC为y轴正半轴,DD1为z轴正半轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) ),设M(0,1,z),面MDN的法向量,设面A1DN的法向量为,则取即(1)由题意:取(2)由题意:即取3.(2011新课标全国高考理科18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明:PABD;()若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理,第(2)问可建立空间直角坐标系,求得二面角的余弦值【精讲精析】()因为, 由余弦定理得 从而
5、BD2+AD2= AB2,故BD AD;又PD 底面ABCD,可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABD()如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,zxPCBADy则,.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则,即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m,则可取m=(0,-1,), 故二面角A-PB-C的余弦值为 .4.(2011山东高考理科19)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=,EA平面ABCD,EFAB,FGBC,EGAC.AB=EF.()若是线段AD上的中点,求证:GM平面ABFE;()若
6、=,求平面角-的大小.【思路点拨】(1)本小题考查线面平行的判定,只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.(2)本题考查利用空间向量求二面角的大小,先建立合适的空间直角坐标系,再分别求出平面BFC与平面ABF的法向量,两个法向量的夹角(或补角)即为所求二面角的大小.【精讲精析】几何法:证明:(),可知延长交于点,而,则平面平面,即平面平面,于是三线共点,若是线段的中点,而,则,四边形为平行四边形,则,又平面,AFC平面ABFE.所以平面;()由平面,作,则平面,作,连接,则,于是为二面角的平面角.若,设,则,为的中点,在中,则,即二面角的大小为.坐标法:()证明:由四边形为平行四边形, ,平
7、面,可得以点为坐标原点,所在直线分别为的直角坐标系,设,则,,E(0,0,c).由可得,由得,,则,而平面,所以平面;()若,设,则, ,则,设分别为平面与平面的法向量.则,令,则,; ,令,则,.于是,则,即二面角的大小为.5.(2011北京高考理科T16)(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,.()求证:;()若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;()当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.ABCDP【思路点拨】本题可利用PA, AC, BD两两互相垂直,建系求解.【精讲精析】()因为四边形ABCD是菱形,所以.又因为平面ABCD,所以
8、.所以平面PAC.()设.因为,所以,如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,yxzOABCDP则,所以.设PB与AC所成角为,则.()由()知,设.则,设平面PBC的法向量,则,所以,令,则,所以.同理,平面PDC的法向量.因为平面PBC平面PDC,所以,即,解得.所以PA=.6(2011湖南高考理科T19)(12分)如图5,在圆锥PO中,已知PO=,o的直径AB=2,点C是的中点,D为AC的中点. ()证明:平面POD平面PAC;()求二面角B-PA-C的余弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系,首先考查空间垂直的证明,由面面垂直作为基础考查线面垂直,再转到线线垂直.再考查二面角的
9、求法,求二面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种:一是几何法,主要考查思维能力.二是向量法,主要考查向量的运用,而向量法又有两种,一是坐标法,二是基底法.【精讲精析】(I)连接,因为,为的中点,所以.又因为内的两条相交直线,所以而,所以。(II)在平面中,过作于,由(I)知,,所以又所以.在平面中,过作连接,则有,从而,所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值为。7(2011陕西高考理科T16)(本小题满分12分)如图,在ABC中,ABC=,BAC,AD是BC上的高,沿AD把ABD折起,使BDC()证明:平面ADB平面BDC;()设E为BC的中点,求与夹角的余弦值【思路点拨
10、】(1)确定图形在折起前后的不变性质,如角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明;()在()的基础上确定出三线两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量的坐标和向量的数量积运算求解【精讲精析】()折起前AD是BC边上的高,当ABD折起后,ADDC,ADDB,又DBDC=D,AD平面BDC,AD平面ABD,平面ABD平面BDC()由BDC及(1)知DA,DB,DC两两垂直,不妨设|DB|=1,以D为坐标原点,以,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得:D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0),所以,所以与夹角的余弦值
11、是8.(2011浙江高考理科20)(本题满分15分)如图,在三棱锥P-ABC中,ABAC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC8,PO4,AO3,OD2()证明:APBC;()在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法,这两小题均可用向量法解决,当然这类问题用传统的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间想象能力与运算求解能力。【精讲精析】方法一:()证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xy
12、z.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4)由此可得所以,即APBC.()解:设 设平面BMC的法向量平面APC的法向量 由得即可取由即得可取由,得解得,故AM=3综上所述,存在点M符合题意,AM=3.方法二:()证明:由AB=AC,D是BC的中点,得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC。 因为POAD=0,所以BC平面PAD故BCPA.()解:如下图,在平面PAB内作BMPA于M,连CM. 由()中知APBC,得AP平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC平面APC。 在RtADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=在RtPOD中, PB2=PO2+OD2,在RtPDB中, PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.在RtPOA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5又从而所以综上所述,存在点M符合题意,AM=3.高考资源网()来源:高考资源网版权所有:高考资源网(www.k s 5 )