1、第三节平面向量的数量积及应用举例A组基础题组1.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为23,且(a+b)(2a-b),则实数的值为() A.-7B.-3C.2D.3答案D依题意得ab=21cos 23=-1,由(a+b)(2a-b)=0,得2a2-b2+(2-1)ab=0,即-3+9=0,解得=3.2.已知平面向量a,b的夹角为3,且a(a-b)=2,|a|=2,则|b|等于()A.2B.23C.4D.2答案D因为a(a-b)=2,所以a 2-ab=2,即|a|2-|a|b|cos=2,所以4-2|b|12=2,解得|b|=2.3.(2018广东茂名联考)如图,正六边形A
2、BCDEF的边长为2,则ACBD=()A.2B.3C.6D.12答案CACBD=(AB+BC)(AD-AB)=(AB+BC)(2BC-AB)=2|BC|2+BCAB-|AB|2=8+2212-4=6.4.如图,AB是半圆O的直径,P是AB上的一点,M,N是直径AB上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则PMPN等于()A.13B.7C.5D.3答案C连接AP,BP,则PM=PA+AM,PN=PB+BN=PB-AM,所以PMPN=(PA+AM)(PB-AM)=PAPB-PAAM+AMPB-|AM|2=-PAAM+AMPB-|AM|2=AMAB-|AM|2=16-1=5.5.(2019河北石家
3、庄质量检测(一)向量a,b均为非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,则a,b的夹角为.答案3解析设a,b的夹角为,由题意可得a(a-2b)=0,b(b-2a)=0,即a2=b2=2ab,即|a|=|b|=2ab,所以cos =ab|a|b|=12,因为0,所以=3.6.(2019贵州贵阳模拟)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,则ABAD的值为.答案11解析以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,A(0,0),B(4,1),C(6,4),根据四边形ABCD为平行四边形,可以得到D(2,3),所以ABAD=(4,1)(2,3)=8+3=11.7
4、.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算:|a+b|,|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b).解析由已知得,ab=48-12=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=43.|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=768,|4a-2b|=163.(2)(a+2b)(ka-b),(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.当k=-7时,(a+2b)(ka-b).8.在平面直角坐标系xOy中,
5、点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.解析(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的两条对角线的长分别为210,42.(2)由题设知,OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t),由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,即5t=-11,所以t=-115.B组提升题组1.(2019湖北武汉模拟)在ABC中,AC=
6、2AB=2,BAC=120,O是BC的中点,M是AO上一点,且AO=3MO,则MBMC的值是()A.-53B.-56C.-73D.-76答案A|AO|2=AB+AC22=14(|AB|2+|AC|2+2ABAC)=14(12+22+212cos 120)=34,|AO|=32,|MO|=36.|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC|AB|cos 120=4+1-221-12=7,|BC|=7,|OB|=72,MBMC=(MO+OB)(MO+OC)=(MO+OB)(MO-OB)=|MO|2-|OB|2=336-74=-53,故选A.2.(2019广西南宁模拟)已知O是ABC内一点,OA+O
7、B+OC=0,ABAC=2,且BAC=60,则OBC的面积为()A.33B.3C.32D.23答案AOA+OB+OC=0,O是ABC的重心,于是SOBC=13SABC.ABAC=2,|AB|AC|cosBAC=2,BAC=60,|AB|AC|=4.SABC=12|AB|AC|sinBAC=3,OBC的面积为33,故选A.3.已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,3),b=(cos ,sin ),R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当0,2时,若存在两个不同的,使得|a+3b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.解析(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-
8、7b垂直,所以(2a-b)(a-7b)=8-15ab+7=0,所以ab=1.所以|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=7.(2)由|a+3b|=|ma|,得|a+3b|2=|ma|2,即|a|2+23ab+3|b|2=m2|a|2,即4+23ab+3=4m2,即7+23(cos +3sin )=4m2,所以43sin+6=4m2-7.由0,2,得+66,23,因为存在两个不同的满足题意,所以数形结合知43sin+66,43),即64m2-743,即134m20,所以132m2+32.即实数m的取值范围为132,2+32.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.解析(1)由mn=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35,所以cos A=-35,因为0Ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B=4.由余弦定理得(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1,或c=-7(舍去),故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=122=22.
