1、考点35立体几何中的向量方法一、解答题1. （2011福建卷理科20）(本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.【思路点拨】(1)证面面PAB中的直线AB，从而可推得面PAB，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直；（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究.【精讲精析】解法1：（I）因为平面A
2、BCD，AB平面ABCD，所以PA，又，所以平面PAD.又平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.在平面ABCD内，作交于点E，则.在中，.设，则.由AB+AD4得AD，所以，（i）设平面PCD的法向量为由得取，得平面PCD的一个法向量. 即解得或（舍去，因为），所以AB（ii）假设在线段AD上存在一个点G（如下图），使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，设G（0,m,0）(其中)，则由得即.由得由消去，化简得由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等.解法2：（I）同解法1.（）（i）同解法1 .（
3、ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.由GCGD，得从而即CG，所以.设，则，AGAD-GD.在中，这与GBGD矛盾.所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.2. （2011江苏高考22）（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。【思路点拨】本题考察的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力，解决本题的关键是正确的建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标，然后利用空间向量的运算求解。【精讲精析】解析：以D为原点，DA为x轴正半
4、轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),面MDN的法向量，设面A1DN的法向量为，则取即(1)由题意：取（2）由题意：即取3.（2011新课标全国高考理科18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理，第（2）问可建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值【精讲精析】（）因为, 由余弦定理得 从而
5、BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，zxPCBADy则,.设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则可取m=（0，-1，）， 故二面角A-PB-C的余弦值为 .4.（2011山东高考理科19）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC.AB=EF.（)若是线段AD上的中点，求证：GM平面ABFE;（）若
6、=,求平面角-的大小.【思路点拨】（1）本小题考查线面平行的判定，只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.（2）本题考查利用空间向量求二面角的大小，先建立合适的空间直角坐标系，再分别求出平面BFC与平面ABF的法向量，两个法向量的夹角（或补角）即为所求二面角的大小.【精讲精析】几何法：证明：（），可知延长交于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，AFC平面ABFE.所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角.若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的大小为.坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平
7、面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为的直角坐标系，设，则,，E（0,0，c）.由可得，由得,，则，而平面，所以平面；（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量.则，令，则，； ，令，则，.于是，则，即二面角的大小为.5.（2011北京高考理科T16）(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，.（）求证：；（）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.ABCDP【思路点拨】本题可利用PA, AC, BD两两互相垂直，建系求解.【精讲精析】（）因为四边形ABCD是菱形，所以.又因为平面ABCD，所以
8、.所以平面PAC.（）设.因为，所以，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，yxzOABCDP则，所以.设PB与AC所成角为，则.()由（）知，设.则，设平面PBC的法向量，则，所以，令，则，所以.同理，平面PDC的法向量.因为平面PBC平面PDC，所以，即，解得.所以PA=.6（2011湖南高考理科T19）（12分）如图5，在圆锥PO中，已知PO=，o的直径AB=2，点C是的中点，D为AC的中点. （）证明：平面POD平面PAC；（）求二面角B-PA-C的余弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，首先考查空间垂直的证明，由面面垂直作为基础考查线面垂直，再转到线线垂直.再考查二面角的
9、求法，求二面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种：一是几何法，主要考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法.【精讲精析】（I）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值为。7（2011陕西高考理科T16）（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC=，BAC，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC（）证明：平面ADB平面BDC；（）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值【思路点拨
10、】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（）在（）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解【精讲精析】（）折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDC=D，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC（）由BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0)，所以，所以与夹角的余弦值
11、是8.（2011浙江高考理科20）（本题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法，这两小题均可用向量法解决，当然这类问题用传统的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间想象能力与运算求解能力。【精讲精析】方法一:（）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xy
12、z.则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）,P（0,0,4）由此可得所以，即APBC.（）解：设 设平面BMC的法向量平面APC的法向量 由得即可取由即得可取由，得解得，故AM=3综上所述，存在点M符合题意，AM=3.方法二：（）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC。 因为POAD=0，所以BC平面PAD故BCPA.（）解：如下图，在平面PAB内作BMPA于M,连CM. 由（）中知APBC,得AP平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC平面APC。 在RtADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=在RtPOD中, PB2=PO2+OD2,在RtPDB中, PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.在RtPOA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5又从而所以综上所述，存在点M符合题意，AM=3.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )