1、第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C易知f(x)=1x-x是奇函数,所以图象关于原点对称.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-54C.54D.3答案A因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=1f(x),若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在2,3上是()A.增函数
2、B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数答案A由题意知f(x+2)=1f(x+1)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在0,1上是增函数,所以f(x)在2,3上是增函数.4.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1时,f(x)=4x2-2,-2x0,x,0x1,则f52=()A.0B.1C.12D.-1答案D因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f52=f-12+3=f-12=4-122-2=-1.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,
3、则()A. f(-25)f(11)f(80)B. f(80)f(11)f(-25)C. f(11)f(80)f(-25)D. f(-25)f(80)0,f(x)在-2,0上也是增函数,且f(x)0,且f(x)为减函数.f(-25)=f(-1)0, f(80)=f(0)=0,f(-25)f(80)0时,f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为.答案14解析设x0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-x+122+14,所以当x0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析f(2)=0, f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x
4、)是偶函数,且在0,+)上单调递减,f(|x-1|)f(2),|x-1|2,-2x-12,-1x0时, f(x)=x1-3x.(1)求当x0时, f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)-x8.解析(1)当x0,f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-x1-3-x=x1-3-x.(2)f(x)0时,x1-3x-x8,所以11-3x18,所以3x-18,解得x2,所以x(0,2);当x0时,x1-3-x-18,所以3-x32,所以x0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)设x0,所以f(x)
5、=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知a-2-1,a-21,所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.B组提升题组1.函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,若f(0.5)=9,则f(8.5)等于() A.-9B.9C.-3D.0答案Bf(x-1)是奇函数,f(-x-1)=-f(x-1),即f(-x)=-f(x-2).又f(x)是偶函数,f(x)=-f(x-2)=f(x-
6、4),故f(x)的最小正周期为4,f(8.5)=f(0.5)=9.故选B.2.(2019河南开封模拟)已知函数f(x)=2(1-x),0x1,x-1,1bcB.cabC.bcaD.acb答案D偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),函数的周期为2.a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).函数f(x)在-1,0上单调递减,且-0.8-0.5cb,故选D.4.设函数f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值;(2)当-4x4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解析(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4x4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=41221=4.
