1、2020-2021学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1在平行四边形ABCD中，（）ABCD2在数列an中，a11，an2an11（n2，nN*），则a8（）A1B1C7D83在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a，b，B45，则角A（）A30B150C30或150D1354已知向量（3，4），（1，0），则在方向上的投影为（）ABC3D35若ab0，则下列不等式正确的是（）ABaba2C|a|b|D26若an为等比数列，且a2a7+a3a64，则a1a2a3a8（）A8B16C64D2567在ABC中，角A，B，C满足si
2、nA：sinB：sinC2：3：，则角C（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A1+B1+C2+D2+9若锐角ABC的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）A（1，3）B（，）C（1，）D（2，）10数列an的a11，且，则a2021（）A1B2020C2021D202211在ABC中，9，AB3，则（）A1B2C3D412三棱锥PABC中，二面角BPAC大小为120，且PABPAC90，ABAC1，PA2若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A4B5C6D8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13an是等比数列，若a11，a22，
3、则数列an的前n项和Sn 14已知x，y满足约束条件，则2xy的最大值为 15若x1，则的最小值为 16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，a2，O为ABC的外接圆，m+n给出下列四个结论：若mn1，则|2；若P在O上，则m2+n2+mn1；若P在O上，则m+n的最大值为2；若m，n0，1，则点P的轨迹所对应图形的面积为2其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设，是两个相互垂直的单位向量，且+2，3+（1）若，求的值；（2）若，求的值18关于x的不等式：x2ax2a0（1）当a1时，求不等式的解集；（2）若不等式
4、对一切实数恒成立，求a的取值范围19等比数列an的各项均为正数，且a1+6a21，a3a1a2（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog3an，求数列bn前n项和20设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinBb（1）求A；（2）若a3，sin（A+C），求c的值21如图，四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别为PA，BC的中点（1）证明：EF平面PCD；（2）已知PAAB2，G为棱CD上的点，EFBG，求三棱锥EFCG的体积22数列an是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列bn满足b11，bnbn+1an2（1
5、）求数列an的通项公式；（2）证明：2n1参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1在平行四边形ABCD中，（）ABCD解：平行四边形ABCD中，+，故选：A2在数列an中，a11，an2an11（n2，nN*），则a8（）A1B1C7D8解：根据题意，由a11，得a22a111，a32a211，a42a31，an1，所以an是常数列且an1，故a81故选：B3在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a，b，B45，则角A（）A30B150C30或150D135解：在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a，b，B45，利用正弦定理：，整理得，由于ab，所以A3
6、0故选：A4已知向量（3，4），（1，0），则在方向上的投影为（）ABC3D3解：（3，4），（1，0），3，在方向上的投影为|cos，|故选：B5若ab0，则下列不等式正确的是（）ABaba2C|a|b|D2解：A：ab0，0，故A不正确；B：ab0，a0，a2ab，故B不正确；C：ab0，|a|b|，故C不正确；D：ab0，0，0，则22，当且仅当ab时取等号，ab，故则2，故D正确故选：D6若an为等比数列，且a2a7+a3a64，则a1a2a3a8（）A8B16C64D256解：an为等比数列，且a2a7+a3a64，a1a8a2a7a3a6a4a52，a1a2a3a82416故选：B
7、7在ABC中，角A，B，C满足sinA：sinB：sinC2：3：，则角C（）ABCD解：在ABC中，角A，B，C满足sinA：sinB：sinC2：3：，利用正弦定理：a：b：c2：3：，设a2k，b3k，ck，所以，由于：0C，故C故选：C8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A1+B1+C2+D2+解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是1的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA1由PA底面ABCD，可得PABC，又BCAB，得BC平面PAB，得BCPB，即PBC为直角三角形，同理可得PDC为直角三角形该几何体的表面积为故选：C9若锐角ABC的边长分
8、别为1，2，a，则a的取值范围是（）A（1，3）B（，）C（1，）D（2，）解：由于锐角ABC的边长分别为1，2，a，利用余弦定理cosA0，cosB0，cosC0所以12+22a2，12+a222，解得即a故选：B10数列an的a11，且，则a2021（）A1B2020C2021D2022解：根据题意，若，则有nan+1（n+1）an0，变形可得，又由a11，则a2021a112021；故选：C11在ABC中，9，AB3，则（）A1B2C3D4解：（）+993，故选：C12三棱锥PABC中，二面角BPAC大小为120，且PABPAC90，ABAC1，PA2若点P，A，B，C都在同一个球面上，
9、则该球的表面积为（）A4B5C6D8解：如图，PABPAC90，BAC为二面角BPAC的平面角，大小为120，ABAC1，ABCACB30，设ABC的外接圆的半径为r，则r，设底面三角形ABC的外心为D，三棱锥PABC外接球的球心为O，连接OD，则OD平面ABC，且ODPA1，连接OA，则OA为三棱锥PABC外接球的半径，可得OA212+122该球的表面积为428故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13an是等比数列，若a11，a22，则数列an的前n项和Sn2n1解：an是等比数列，a11，a22，q2，数列an的前n项和Sn2n1故答案为：2n114已知x，y满足约束
10、条件，则2xy的最大值为 1解：作出约束条件 对应的平面区域如图阴影部分所示：令z2xy得y2xz，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点B时，直线y2xz的截距最小，此时z最大，由，得B（1，1）代入目标函数z2xy，得z2111，故答案为：115若x1，则的最小值为 7解：由于x1，所以x10，故（x1）+17，当且仅当x4时，等号成立，故答案为：716在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，a2，O为ABC的外接圆，m+n给出下列四个结论：若mn1，则|2；若P在O上，则m2+n2+mn1；若P在O上，则m+n的最大值为
11、2；若m，n0，1，则点P的轨迹所对应图形的面积为2其中所有正确结论的序号是 解：O为ABC的外接圆，A，a2，所以2R，即2R，解得R2，所以BOC2A，所以OBOC2，对于：若mn1时，m+n，则+，两边平方得（）2（）2+2+（）2，所以|2|2+|2+2|cosBOC，22+22+222cos6012，所以|2，故正确；对于：m+n，所以|2m2|2+n2|2+2mn|cosBOC，4m2+4n2+2mn224（m2+n2+mn），若P在O上，则|2，所以44（m2+n2+MN），所以m2+n2+mn1，故正确；对于：由知，m2+n2+mn1，所以m2+n21mn2mn，所以mn，所以
12、m2+n2（2mn）max2，所以（m2+n2）min，又恒成立，所以，所以m+n，故错误；对于：若m，n0，1，BOC60，OCOBBC2，m+n，m，n0，1，当m0时，n0，1时，n，此时点P在线段OC上，当n0时，m0，1时，m，此时点P在线段OB上，当m1，n0，1时，+n，构造平行四边形，此时点P在与OC平行的线段BD上，当n1，m0，1时，m+，同理，可得点P在与OB平行的线段CD上，当m（0，1），n（0，1），m+n，此时点P在菱形OBCD的内部，综上，点P的轨迹为菱形OBDC组成的图形区域，所以S菱形OBDC2SOBC222sin602，故正确故答案为：三、解答题（共6小题
13、，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设，是两个相互垂直的单位向量，且+2，3+（1）若，求的值；（2）若，求的值解：（1），是两个相互垂直的单位向量，且+2，3+若，则有，6（2）若，由于0，则3+（6）+23+0+20，18关于x的不等式：x2ax2a0（1）当a1时，求不等式的解集；（2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围解：（1）当a1时，原不等式化为x2x20，方程x2x20的实数根为x11，x22，原不等式的解集为x|x1或x2（2）不等式对一切实数恒成立，（a）41（2a）0，即 a+8a0，方程a+8a0的实数根为8和0，8a0，所以a的取值范围为（8，
14、0）19等比数列an的各项均为正数，且a1+6a21，a3a1a2（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog3an，求数列bn前n项和解：（1）由题意，设等比数列an的公比为q（q0），则，解得a1q，an（）n1（）n，nN*（2）由（1），知bnlog3anlog3（）nn，记数列bn的前n项和为Sn，则Snb1+b2+bn（1）+（2）+（n）（1+2+n）20设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinBb（1）求A；（2）若a3，sin（A+C），求c的值解：（1）由正弦定理，即代入上式，得，即，又，所以（2）由，得，又，所以，故又a3，则由正弦定理：，得由正弦
15、定理得b2，再由余弦定理：a2b2+c22bccosA，得c22c50，解得或（舍去）21如图，四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别为PA，BC的中点（1）证明：EF平面PCD；（2）已知PAAB2，G为棱CD上的点，EFBG，求三棱锥EFCG的体积【解答】（1）证明：如图，取PD中点H，连接EH，HC，由E，H分别为PA，PD的中点，知EHAD，EHAD，又F为BC的中点，故FCAD，FCAD，即EHFC，且EHFC，四边形EFCH是平行四边形，即EFHC，又EF平面PCD，HC平面PCD，EF平面PCD；（2）解：如图，连接AFPA平面ABCD，BG平面ABC
16、D，PABG，又EFBG，PAEFE，PA平面AEF，EF平面AEF，BG平面AEF，AF平面AEF，BGAF，即AFB+CBGAFB+FAB90，AFBBGC，即RtABFRtBCG，又ABBC2BF2，CG1，又PA2，则AE1，且FC1，三棱锥EFCG的体积V22数列an是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列bn满足b11，bnbn+1an2（1）求数列an的通项公式；（2）证明：2n1【解答】（1）解：设等差数列an公差为d，因为数列an是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以，即，解得d1或d0（舍去），所以ana1+（n1）d1+（n1）1n，故数列an的通项公式为ann（2）证明：数列bn满足，由（1）得，因为b11，b2b11，故b21且bn0，则，故，即，当n1时，左式，右式2111，结论成立；当n2时，左式1+（b3b1）+（b4b2）+（b5b3）+（bnbn2）+（bn+1bn1），即结论也成立综上，成立
