1、江苏省常熟中学2021届高三数学第三次模拟测试（5月）试题（含解析）一、单项单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合A1，2，3，B4，5，Cx+y|xA，yB，则C中元素的个数为（）A3B4C5D62若随机变量XB（5，p），则E（X）（）ABCD3设为实数，已知向量（1，），（2，1）若，则向量与的夹角为（）ABCD4生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于
2、（）参考数据：log20.790.34参考时间轴：A战国B汉C唐D宋5函数f（x）的图象大致为（）ABCD6已知i为虚数单位，则复数z1+2i+3i2+2020i2019+2021i2020的虚部为（）A1011B1010C1010D10117在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：（x1）2+（y1）21上一动点，过圆M外一点P向圆M引条切线，切点为A，若|PA|PO|，则|PQ|的最小值为（）ABCD8若函数g（x）在区间D上，对a，b，cD，g（a），g（b），g（c）为一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“稳定函数”已知函数在区间上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（）ABCD二、多
3、项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）。9如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象，则（）A函数yf（x）的最小正周期为B直线是函数yf（x）图象的一条对称轴C点是函数yf（x）图象的一个对称中心D函数为奇函数10若实数x，y满足xy0，则（）ABln（xy）lnyCDxyexey11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点（含端点），则（）APMBDBAC1平面EFMCPE与平面ABCD所成角正切值的最大值为D当
4、P位于C1时，三棱锥PCEF的外接球体积最小12斐波那契，公元13世纪意大利数学家他在自己的著作算盘书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系现有一段长为a米的铁丝，需要截成n（n2）段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是（）A100B143C200D256三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13的展开式中常数项为 14已知函数f（x）同时满足f（0）0；在1，3上单调递减；f（1+x）f（
5、1x）该函数的表达式可以是f（x） 15如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 （单位：cm）16已知四棱锥PABCD的体积为V，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为棱PC，PD的中点，则四棱锥PABEF的体积为 （用V表示）三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，cos2AcosA（1）求ABC
6、接圆的半径大小；（2）若，求ABC的面积18在Sn+12Sn+2，an+1an2n，Snan+12这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足 _（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，试比较dn与的大小关系，并说明理由19如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABC60，CD1，AEAC2，F为BE的中点（1）当BC的长为多少时，DF平面ABE（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小20为落实十三五规划节能
7、减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图：（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时总计A型B型总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换
8、设备时间忽略不计），A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由参考公式：，na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82821椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|2，|EF1|+|EF2|4（）求椭圆C的方程；（）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），MF1NMEN90，直线EM交x轴于点P，求的值22已知函数f（x）aexx2（aR）（其中e
9、2.71828为自然对数的底数）（1）当a1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x0，+）恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、单项单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。1设集合A1，2，3，B4，5，Cx+y|xA，yB，则C中元素的个数为（）A3B4C5D6解：集合A1，2，3，B4，5，Cx+y|xA，yB，集合C5，6，7，8，C中元素的个数为4，故选：B2若随机变量XB（5，p），则E（X）（）ABCD解：因为XB（5，p），则，解得，所以故选：D3设为实数，已知向量（1，），（2，1）若
10、，则向量与的夹角为（）ABCD解：,解得2，,且,与的夹角为故选：D4生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：log20.790.34参考时间轴：A战国B汉C唐D宋解：因为每经过5730年衰减为原来的一半，所以生物体内碳14的含量p与死亡年数t之间的函数关系式为P()(t0),由题意可得()0.79,所以log20.790.34，可得t1948，由20211
11、94873，可推断该文物属于汉朝故选：B5函数f（x）的图象大致为（）ABCD解：函数的定义域为x|x0，设g（x）2x+2x，则g（x）2x+2xg（x），即g（x）是偶函数，设h（x）ln（x），则h（x）+h（x）ln（+x）ln（x）ln（+x）（x）ln10，即h（x）h（x），则h（x）是奇函数，f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，f（1）0，排除D，故选：B6已知i为虚数单位，则复数z1+2i+3i2+2020i2019+2021i2020的虚部为（）A1011B1010C1010D1011解：因为z1+2i+3i2+2020i2019+2021i2020，所以izi
12、+2i2+3i3+2020i2019+2021i2020+2021i2021，两式相减可得，（1i）z1+i+i2+i20202021i2021，所以z，所以复数z的虚部为1010故选：B7在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：（x1）2+（y1）21上一动点，过圆M外一点P向圆M引条切线，切点为A，若|PA|PO|，则|PQ|的最小值为（）ABCD解：设P（a，b），|PA|PO|，圆心M（1，1），r1，化简可得2a+2b10，点P满足表达式2a+2b10，即点P在直线l：2x+2y10，由题意可知，|PQ|的最小值可转化为圆心到直线l的距离d与半径的差，|PQ|dr，故选：C8若函数g（
13、x）在区间D上，对a，b，cD，g（a），g（b），g（c）为一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“稳定函数”已知函数在区间上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（）ABCD解：由于，则，易知函数f（x）在上单调递增，在（e，e2上单调递减，而，在上的最大值为，最小值为m2e2，依题意，2f（x）minf（x）max，即，解得故选：D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）。9如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象，则（）A函数yf（x）的最小正周期为B直线是函数yf（
14、x）图象的一条对称轴C点是函数yf（x）图象的一个对称中心D函数为奇函数解：由图象可知，即T，故A选项正确，由公式可知，图象过最高点，故A2，即，f(x)2sin()，不是f(x)的对称轴，故B选项错误， 是函数f(x）图象的一个对称中心，故C选项正确，2sin2x，令g(x)2sin2x，g(x)2sin(2x)2sin2xg(x)，又g（0）0，g(x)为奇函数，故D选项正确，故选：ACD10若实数x，y满足xy0，则（）ABln（xy）lnyCDxyexey解：因为xy0，所以，A正确；由于xy与y的大小不确定，B不正确；因为2（x2+y2）（x+y）2x2+y22xy（xy）20，所以
15、2（x2+y2）（x+y）2，C正确；令f（x）exx，则f（x）ex10，故f（x）在（0，+）上单调递增，由xy0，得f（x）f（y），所以exxeyy，所以xyexey，D正确故选：ACD11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点（含端点），则（）APMBDBAC1平面EFMCPE与平面ABCD所成角正切值的最大值为D当P位于C1时，三棱锥PCEF的外接球体积最小解：对于A，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，又BD平面ABCD，所以AA1BD，又ACBD，且ACAA1A，AC，AA1平面ACC1A1，
16、所以BD平面ACC1A1，又PM平面ACC1A1，则PMBD，故选项A正确；对于B，设ACBDO，EFACH，如图所示，若AC1平面MEF，又AC平面ACC1A1，且平面ACC1A1平面MEFMH，则AC1MH，由正方体的性质可知，O是AC的中点，M是CC1的中点，所以AC1MO，又MOMHM，产生矛盾，故假设不成立，故选项B错误；对于C，点P在平面ABCD上的射影N在AC上，连结NE，故PEN即为PE与平面ABCD所成的角，设正方体的棱长为a，则PNa，tanPEN，故EN的最小值即为E到直线AC的距离EH，所以tanPEN的最大值为，故选项C正确；对于D，正方体ABCDA1B1C1D1中，
17、假设HK平面ABCD，交A1C1于点K，又H为CEF的外心，则三棱锥PCEF的外接球的球心一定在HK上，设球心为O，高OPOER，正方体的棱长为a，则，2a，其中，故当PK0时，R最小，此时点P与点K重合，故选项D错误故选：AC12斐波那契，公元13世纪意大利数学家他在自己的著作算盘书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系现有一段长为a米的铁丝，需要截成n（n2）段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能
18、是（）A100B143C200D256解：由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89232，只需143a232，BC均符合要求故选：BC三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13的展开式中常数项为 7解：（1+x）4展开式的通项公式为Tr+1xr，故令r0，1，可得展开式中常数项为+（2）7故答案为：714已知函数f（x）同时满足f（0）0；在1，3上单调递减；f
19、（1+x）f（1x）该函数的表达式可以是f（x）2xx2解：以二次函数为例，由题意得f（0）0，图象关于x1对称且在1，3上单调递减，符合条件的函数f（x）2xx2故答案为：f（x）2xx2（答案不唯一）15如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为6cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为（0，（单位：cm）解：如图以杯子的底部为原点O，建立如图所示的直角坐标系，则A（2，8），B（2，8），设抛物线的方程为x22py（p0），可得（2）22
20、p8，解得p，所以抛物线的方程为x2y，设球的半径为R，由4R236，解得R3，由直角三角形DBC1中，C1B3，DB2，可得C1D1，所以球面上的点到杯底的最小距离为8+136；如图球C2的横截面的圆的方程为x2+（yr）2r2，r0，联立，可得y0或y2r1，要使球触及酒杯底部，则只需抛物线与圆相切于顶点（0，0），可得联立抛物线和圆的方程只能有1解y0，另一个解为负数或零，所以y2r10，解得0r，所以玻璃球的半径的范围为（0，故答案为：6，（0，16已知四棱锥PABCD的体积为V，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为棱PC，PD的中点，则四棱锥PABEF的体积为（用V表示）解：如图，
21、连接FB、FC，E，F分别为棱PC，PD的中点，VPABEFVPABCDVFABCDVFBCE故答案为：三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，cos2AcosA（1）求ABC接圆的半径大小；（2）若，求ABC的面积解：（1）因为bcosA,所以acosB+bcosAac,由正弦定理得sinAcosB+sinBcosAacsinC,即sin(A+B)sinCasinC,因为sinC0,所以a因为cos2A2cos2A1cosA,解得cosA或cosA1(舍），由A为三角形内角得A，由正弦定理得
22、2R,所以R；（2）因为a，A，由余弦定理得a2b2+c22bccosAb2+c2+bc,所以7(b+c)2bc8bc,所以bc1,ABC的面积S18在Sn+12Sn+2，an+1an2n，Snan+12这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足 _（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，试比较dn与的大小关系，并说明理由【解答】（1）选Sn+12Sn+2，当n1时，S22S1+2，即a1+a22a1+2，a12，a1+a22a1+2，a24，当n2时，an+1Sn+1Sn2
23、Sn+2（2Sn1+2）2an，又a22a1，也满足上式，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，即，选an+1an2n，由an+1an2n 可得，将以上式子进行累加可得，n2，即，n2，又a12，也满足上式，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，即，选Snan+12，当n1时，S1a22，a24，当n2时，anSnSn1an+12（an2）an+1an，即an+12an（n2），又a22a1，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，即，（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，an+1an+（n+1）dn，即，当n1时，当n2时，综上所述，19如图，
24、在多面体ABCDE中，平面ACDE平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CDAE，ACAE，ABC60，CD1，AEAC2，F为BE的中点（1）当BC的长为多少时，DF平面ABE（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小解：（1）当BC2时，DF平面ABE，取AB中点M，连接MF，MC，因为ABAC2，ABC60，所以ABC为正三角形，所以MCAB，因为AEAC，平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，所以AE平面ABC，因为MC平面ABC，所以MCAE，又因为AEABA，所以MC平面ABE，因为MFAECD，MFCD，所以四边形CDFM为平行四边形，所以FDMC，所以DF
25、平面ABE（2）过点B作l平面ABC，所以ABl，BCl，于是ABC为平面ABE与平面BCD所成的二面角的平面角，所以平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小为6020为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图：（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时总计A型B型总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设
26、备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由参考公式：，na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：（1）列联表如下： 超过2500小时不超过2500小时总计A型 70 30 100B型50
27、50100 总计 12080 200由于K28.3336.635，所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关（2）由（1）和分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，所以X的取值可能为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2）P（X3），所以X的分布列为X0123PE（X）0+1+2+3（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台，B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1（10+3）1+1020.75250010416.75，选择B型设备的总费用y2
28、（10+5）0.6+1060.75250010420.2516.75，所以选择A型设备21椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|2，|EF1|+|EF2|4（）求椭圆C的方程；（）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），MF1NMEN90，直线EM交x轴于点P，求的值解：（）由|F1F2|2，即2c2，c1，由|EF1|+|EF2|4，可得2a4，即a2，b，所以椭圆的方程为+1；（）设M（0，m），N（0，n），E（x0，y0），则+1，由F1（1，0），F2（1，0），因为MF1N90，所以（1，m）（1，n）1+mn0，即mn1，又
29、因为MEN90，所以（x0，y0m）（x0，y0n）x02+y02（m+n）y0+mn0，因为mn1，所以n，且m0，所以x02+y02（m）y010，因为+1，所以x024y02，所以4y02+y02（m）y010，即y02+3（m）y090，即（y0+3m）（y0）0，因为M，E位于x轴的两侧，y0与m异号，所以y03m，即322已知函数f（x）aexx2（aR）（其中e2.71828为自然对数的底数）（1）当a1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x0，+）恒成立，求实数a的取值范围解：（1）证明：a1时，f(x)exx2,f(x)ex2x,设g(x
30、)f(x)ex2x,则g(x)ex2,令g(x)0,解得：xln2,故g(x)在区间(,ln2)递减，在(ln2,+)递增，故g(x)的最小值是g(ln2)22ln2,即f(x)对任意xR恒成立，故函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意x(0,+),ln(x+1)x,exx2+x+1,令h(x)ln(x+1)x,h(x)1,令h(x)0,解得：x0,故h(x)在区间(1,0)递增，在（0，+）递减，故h(x)h(0)0,故ln(x+1)x,令p(x)exx2x1,p(x)ex2xm(x),m(x)ex2,令m(x)0,解得：xln2,故m(x)在区间(,ln2)递减，在区间（ln2,+）递增，故m(x)m(ln2)0,故p(x)0,p(x)递增，故p(x)p(0)0,故exx2+x+1,x0,+),f(x)ln(x+1)+cosx对于任意x0,+)恒成立，f(0)ln(0+1)+cos01,故a1,当a1时，f(x)ln(x+1)cosxaexx2ln(x+1)cosxexx2ln(x+1)cosxx2+x+1x2ln(x+1)cosxxln(x+1)+1cosxxx+1cosx1cosx0,即对于任意的x0，+）恒成立，综上：a的取值范围是（1，+）
