1、第七章 不等式、推理与证明7.1等式性质与不等式性质【考试要求】1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用【知识梳理】1两个实数比较大小的方法作差法 (a，bR)2等式的性质性质1对称性：如果ab，那么ba；性质2传递性：如果ab，bc，那么ac；性质3可加(减)性：如果ab，那么acbc；性质4可乘性：如果ab，那么acbc；性质5可除性：如果ab，c0，那么.3不等式的性质性质1对称性：abbb，bcac；性质3可加性：abacbc；性质4可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；性质6同向同正可乘性：ab0，cd0acbd；性质7同正可
2、乘方性：ab0anbn(nN，n2)【常用结论】1若ab0，且abb0，m0a0，m0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ba.()(3)若xy，则x2y2.()(4)若，则ba0，cR，则下列不等式不正确的是()AC. Dac3bc3答案D解析因为y在(0，)上单调递增，所以，B正确；因为0，所以，C正确；当c0时，ac3bc3，所以D不正确2已知Mx23x，N3x2x3，则M，N的大小关系是_答案MN解析MN(x23x)(3x2x3)4x24x3(2x1)220，MN.3已知1a2，3b5，则a2b的取值范围是_
3、答案(7,12)解析3b5，62b10，又1a2，7a2b12.题型一 比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Dpq答案B解析pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pbc BcabCcba Dacb答案C解析a55a，即，b44b，即，c33c，即，设f(x)，则f(a)f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)，f(x)(x0)，当xe时，f(x)0，f(x)单调递减，当0x0，f(x)单调递增，因为a，b，c(0,3)，f(a)f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)，所以a，b，c
4、(0，e)，因为f(5)f(4)f(3)，所以f(a)f(b)f(c)，abN解析方法一MN0.MN.方法二令f(x)，显然f(x)是R上的减函数，f(2 021)f(2 022)，即MN.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；得出结论(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小跟踪训练1(1)已知0aN BMNCMN D不能确定答案A解析0a0,1b0,1ab0.MN0，MN.(2)ee与ee的大小关系为_答案eeee解析e，又01,0e1，e1，即1，即eeb，则ac2bc2B若ab0，则a2abab0，则bc0，则答
5、案D解析对于A选项，当c0时，显然不成立，故A选项为假命题；对于B选项，当a3，b2时，满足ab0，但不满足a2ab，故C选项为假命题；对于D选项，由于abc0，所以0，即，故D选项为真命题(2)若0，则下列不等式正确的是_(填序号)0；ab；ln a2ln b2.答案解析由0，可知ba0.中，因为ab0，所以0.故有，即正确；中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上单调递增，所以ln b2ln a2，故错误【备选】若a，b，cR，ab，则下列不等式恒成立的是()A.b2Ca|c|b|c| D
6、.答案D解析对于A，若a0b，则，故A错误；对于B，取a1，b2，则a20，又ab，所以，故D正确思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证(2)利用特殊值法排除错误选项(3)作差法(4)构造函数，利用函数的单调性跟踪训练2(1)(2022珠海模拟)已知a，bR，满足ab0，ab，则()A.0Ca2b2 Da|b|答案C解析因为abb，则a0，b0，0，A不正确；0，0，则0，即ab0，则a2(b)2，a2b2，C正确；由ab0得a|b|，D不正确(2)设ab1c0，下列四个结论正确的是_(填序号)；bacabc；(1c)aloga(bc)答案解析由题意知，ab1c0，所以对于
7、，acbc0，故，所以错误；对于，取a3，b2，c，则bac2，abc3，所以bacabc，故错误；对于，因为01cb，所以(1c)abc1，所以logb(ac)logb(bc)loga(bc)，故正确题型三 不等式性质的综合应用例3(1)已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.(2)已知3a8,4b9，则的取值范围是_答案解析4b9，又3a8，38，即2.延伸探究若将本例(1)中条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)
8、n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2y的取值范围为.【备选】已知0，则的取值范围是_答案解析0，0，又0，又0，即0bc,2abc0，则的取值范围是()A31 B1C21 D1bc,2abc0，所以a0，cbc，所以2acc，解得3，将b2ac代入bc中，得2acc，即ac，得1，所以31.(2)已知1ab3，则ab的取值范围是_，的取值范围是_答案(2,0)解析1b3，3b1，又1a3，2ab2，又ab，ab0，2ab0，又，0，b0，M，N，则M与N的大小关系为()AMNBMNCMNDM，N大小关系不
9、确定答案B解析M2N2(ab)(ab2)20，MN.2已知非零实数a，b满足ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC. D.答案C解析若abb2，故A不成立；若则a2b，故D不成立，由不等式的性质知，C正确3已知3a2,3b4，则的取值范围为()A(1,3) B.C. D.答案A解析因为3a2，所以a2(4,9)，而3b1，mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系是()Anmp BmpnCmnp Dpmn答案B解析由a1知，a212a(a1)20，即a212a，而2a(a1)a10，即2aa1，a212aa1，而ylogax在定义域上
10、单调递增，mpn.5已知a，bR，则“|a|b|”是“1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析不妨令a1，b0，故|a|b|不能推出1，若1，故a，b同号，若a，b都大于0，则ab0，从而|a|b|；若a，b都小于0，则ab|b|，故1能推出|a|b|，从而“|a|b|”是“1”成立的必要不充分条件6(2022济宁模拟)已知xyz，xyz0，则下列不等式恒成立的是()Axyyz BxyxzCxzyz Dx|y|y|z答案B解析因为xyz，xyz0，所以x0，z0z，若y0，则xy0z，x0，所以xyxz，故B正确；对于C，因为xy，z0，所以xz
11、z，当|y|0时，x|y|y|z，故D错误7设a，b，c，d为实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是()Ac2cd BacbdCac0答案D解析因为ab0cd，所以ab0,0cd，对于A，因为0cd，由不等式的性质可得c2b0，dc0，则ad，故0，故选项D正确8若0ac1，则()A.aCca1ba1 Dlogcac1，1.0a01，故选项A错误；对于B，若，则bcabbcac，即a(cb)0，这与0ac1矛盾，故选项B错误；对于C，0a1，a1c1，ca1ba1，故选项C错误；对于D，0ac1，logca”“解析MNx2y2z22x2y2z(x1)2(y1)2(z1)2330，故MN.10
12、(2022宜丰模拟)若0，已知下列不等式：ab|b|；a2.其中正确的不等式的序号为_答案解析因为0，所以ba0，故错误；所以ab0ab，故正确；所以|a|0，0且均不为1，22，当且仅当1时，等号成立，所以2，故正确11若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a2aba2b2b解析方法一令a，b，则2ab，a2b2，故a2aba2b2b.方法二0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a22，即a2ab1，即a2b2.b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0，即a2b2b，综上可知a2aba2b2b.12(2022上海
13、模拟)设实数x，y满足3xy28，49，则的最大值是_答案27解析28127，当且仅当9，xy23，即x3，y1时等号成立13(2022长沙模拟)设实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则下列不等式恒成立的是()Acb Bb1Cba Da0，ba.而cb44aa2(a2)20，cb，从而cba.14实数a，b，c，d满足下列三个条件：dc；abcd；addca解析由题意知dc，得2abd2cbd，化简得ac，由式abcd及ad成立，综合式得到bdca.15已知函数f(x)ax2bxc满足f(1)0，且abc，则的取值范围是_答案解析因为f(1)0，所以abc0，所以b(ac)又abc，所以a(ac)c，且a0，c，即11.所以解得2xy4，x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.xyz，当x3时，条件不成立，当x4时，条件不成立，当x5时，5yz，此时z3，y4.该小组人数的最小值为12.
