1、3.7利用导数研究函数零点题型一 数形结合法研究函数零点例1(2020全国)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ex(x2)，f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，解得x0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)令f(x)0，得exa(x2)，即，所以函数y的图象与函数(x)的图象有两个交点，(x)，当x(，1)时，(x)0；当x(1，)时，(x)0，所以(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)e，且x时，(x)；x时，(x)0，所以0.所
2、以a的取值范围是.【备选】已知函数f(x)xexex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)讨论函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数解(1)函数f(x)的定义域为R，且f(x)(x2)ex，令f(x)0得x2，则f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)单调递减单调递增f(x)的单调递减区间是(，2)，单调递增区间是(2，)当x2时，f(x)有极小值为f(2)，无极大值(2)令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)1时，f(x)0，且f(x)的图象经过点，(1,0)，(0,1)当x时，与一次函数相比，指数函数yex增长更快，从而f(x)0；当x时，
3、f(x)，f(x)，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示函数g(x)f(x)a(aR)的零点的个数为yf(x)的图象与直线ya的交点个数当x2时，f(x)有极小值f(2).关于函数g(x)f(x)a(aR)的零点个数有如下结论：当a时，零点的个数为0；当a或a0时，零点的个数为1；当a0时，零点的个数为2.思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围跟踪训练1设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数
4、解(1)当me时，f(x)ln x，f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)2.(2)由题意知g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0.(1)讨论f(x)的单调性；
5、 切入点：判断f(x)的正负(2)若yf(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 关键点：f(x)0且f(x)有最小值【备选】已知函数f(x)xsin xcos x，g(x)x24.(1)讨论f(x)在，上的单调性；(2)令h(x)g(x)4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点(1)解f(x)sin xxcos xsin xxcos x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0,4(1cos x)0，h(x)0，h(x)无零点；当x(0,4)时，h(x)2x4xcos x2x(12cos x)，当x时，h(x)0，h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minh4sin4co
6、s20，h(x)在上无零点，在上有唯一零点综上，h(x)在(0，)上有唯一零点，又h(0)0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有且仅有三个零点思维升华利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件跟踪训练2已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点(1)解当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0，解得x32或x32.当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0在R上恒
7、成立，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0在R上恒成立，当且仅当x0时，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a620，故f(x)有一个零点综上所述，f(x)只有一个零点题型三构造函数法研究函数的零点例3(2021全国甲卷)已知a0且a1，函数f(x)(x0)(1)当a2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)(x0)，f(x)(x0)，令f(x)0，则0x，此时函数f(x)单调递增，令f(x)，此时函数f(x)单调递减，
8、所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，可转化为方程1(x0)有两个不同的解，即方程有两个不同的解设g(x)(x0)，则g(x)(x0)，令g(x)0，得xe，当0x0，函数g(x)单调递增，当xe时，g(x)e时，g(x)，又g(1)0，所以01且ae，即a的取值范围为(1，e)(e，)【备选】(2022南阳质检)已知f(x)x3x22x，f(x)是f(x)的导函数(1)求f(x)的极值；(2)令g(x)f(x)kex1，若yg(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围解(1)因为f(x)x23x2(x1)(x2)，令
9、f(x)0，得x11，x22，当x变化时，f(x)，f(x)的变化如表所示：x(，2)2(2，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(1).(2)由(1)知g(x)x23x2kex1x23x1kex，由题知需x23x1kex0有三个不同的解，即k有三个不同的解设h(x)，则h(x)，当x(，2)时，h(x)0，h(x)单调递增，当x(2,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，又当x时，h(x)，当x时，h(x)0且h(x)0，且h(2)e2，h(1).作出函数h(x)的简图如图，数形结合可知，k0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2
10、)当m1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增综上，函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x0，题中问题等价于求函数F(x)的零点个数F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，因为F(1)0，F(4)ln 41时，0xm时，F(x)0；1x0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)m0，F(2m2)mln(2m2)0，当x(，0)(a，)时，f(x)0，
11、当x(0，a)时，f(x)0，若a0，当x(a,0)时，f(x)0时，f(x)在(，0)，(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，当a0时，f(x)在(，a)，(0，)上单调递增，在(a,0)上单调递减(2)g(x)x3x22xb，令g(x)0，所以bx3x22x，令h(x)x3x22x，则h(x)x2x2(x2)(x1)，所以h(2)0，h(1)0，且当x1时，h(x)0；当1x0；当x2时，h(x)0，所以h(x)极小值h(1)2，h(x)极大值h(2)844，如图，当b时，函数g(x)有1个零点；当b或b时，函数g(x)有2个零点；当b时，函数g(x)有3个零点2已知函数f(x)ex
12、(ax1)，曲线yf(x)在x1处的切线方程为ybxe.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)f(x)3exm有两个零点，求实数m的取值范围解(1)f(x)ex(ax1)，则f(x)ex(ax1)exaex(ax1a)，由题意知解得a1，b3e.(2)g(x)f(x)3exmex(x2)m，函数g(x)ex(x2)m有两个零点，相当于函数u(x)ex(x2)的图象与直线ym有两个交点，u(x)ex(x2)exex(x1)，当x(，1)时，u(x)0，u(x)在(1，)上单调递增，当x1时，u(x)取得极小值u(1)e.又当x时，u(x)，当x2时，u(x)0，em0，实数m的取值范围为(e,
13、0)3已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.函数f(x)在x0处取得极值，f(0)e0a0，a1，f(x)exx1，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，f(x)在2,1上的最大值是3.(2)f(x)exa.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，且当x1时，f(x)exa(x1)0
14、，当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，则xln(a)当x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调递增当xln(a)时，f(x)取得极小值，也是最小值当x时，f(x)，当x时，f(x)，函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0时，判断函数f(x)在x(0，)上的零点个数，并说明理由解(1)f(x)，f，所以f(x)在点处的切线方程为yx，所以f，即a2，a2.(2)因为x(0，)，所以sin x0，所以20可转化为x2a2sin x0，设g(x)x2a2sin x，则g(x)2
15、x2cos x，当x时，g(x)0，所以g(x)在区间上单调递增当x时，设h(x)g(x)2x2cos x，此时h(x)22sin x0，所以g(x)在x上单调递增，又 g(0)20，所以存在x0使得g(x)0且x(0，x0)时g(x)单调递减，x时g(x)单调递增综上，对于连续函数g(x)，当x(0，x0)时，g(x)单调递减，当x(x0，)时，g(x)单调递增又因为g(0)a0，即a2时，函数g(x)在区间(x0，)上有唯一零点，当g()2a0，即a2时，函数g(x)在区间(0，)上无零点，综上可知，当0a2时，函数f(x)在(0，)上有1个零点；当a2时，函数f(x)在(0，)上没有零点
