1、江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题第卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上.1.已知集合，若，则实数的值为 .2.设函数，则 .3.复数的虚部等于 .4.已知幂函数过点，则 .5.若且，则 .6.函数的单调递增区间为 .7.设的内角，所对边的长分别为，.若且，则角 .8.设，则 .（用含，的式子表示）9.已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 .10.已知，则的值为 .11.在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中
2、心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 .12.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则 .13. 已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为 .14.设钝角的内角为，且，若，则的取值范围是 .第卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，求的值.16.在中，角，所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.17. 设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.18. 如图，某小区内
3、有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.19. 已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.20. 设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证
4、：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）试卷答案一、填空题1. 2 2. 1 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1:27 12. 0 13. 14. 二、解答题15.（1） . 令，解得，即为所求的对称轴方程. （2）由，则，而，将，代入上式，求得：. 16. （1）由已知可得：，即有， 由，则， 则有，即， 由，所以角. （2）由余弦定理得，由，则（当且仅当时等号成立），又，综上，的取值范围是. 17.（1），由得，则， 由，解得，所以， （2）由（1）知，所以， 即复数的实部的
5、取值范围是. （3） ，由（1）知，则， 应为，所以为纯虚数. 18.（1）以代入，得，因为，得直线：，所以. （2）设梯形的高为米，则，且，所以， 所以梯形的面积， 由， 令，得，列表如下：0极大值所以当时，取得极大值，即为最大值为. 答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米. 19. （1）令，即有.当时，方程即为，方程无解；当时，方程即为，解得（负值舍去）.综上，方程的解为. （2），由在上单调递减，则， 解得，所以实数的取值范围是.（3）当时， 当时， 若，则无解，的解为，故不成立； 若，则的解为 .（）当，即时，中，则一个根在内，另一根不在内，设，因为，所以，解得， 又，则此时， （）当，即或时，在内有不同两根，由，知必有负数根，所以不成立， 综上. 20.（1）当时，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 . （2）函数，则 .，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根， 由于开口向上，且只需要，得， 因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，即对恒成立 .令，则， 令，则，因为在上单调递增，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增.则取到最小值， 所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 . v
