1、考试标准 课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算cc向量数乘运算的几何意义bb知识导图 学法指导 1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义2向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础3向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行4学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算叫作向量的_，记作_，它的长度与方向
2、规定如下：(1)|a|a|.(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向_；当 0 时，a 的方向与 a 的方向_(3)当 0 时，a0.向量数乘a相同相反状元随笔 理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如 a，a均没有意义2数乘向量的运算律(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.3共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使_.ba状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中 a 0 不能漏掉.若 a b 0 ，则
3、实数 可以是任意实数；若 a0，b 0 ，则不存在实数，使得 b a.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为 0 的一对实数t，s，使 t as b 0 ，则 a与 b共线；若两个非零向量 a与 b不共线，且 t as b 0 ，则必有 ts0.小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数 与向量 a，则 a 与 a 的和是向量()(2)对于非零向量 a，向量3a 与向量 a 方向相反()(3)对于非零向量 a，向量6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍()(4)若 b 与 a 共线，则存在实数，使得 ba.()2存在两个非零向量 a，b，满足 b3a，则有
4、()Aa 与 b 方向相同Ba 与 b 方向相反C|a|3b|D|a|b|解析：因为30，所以 a 与3a 方向相反且|3a|3|a|，即|b|3|a|，故选 B.答案：B3化简：13122a8b4a2b()A2ab B2baCbaDab解析：原式13(a4b)(4a2b)13(3a6b)2ba，选B.答案：B4已知 ae12e2，b3e12e2，则 3ab()A4e2 B4e1C3e16e2 D8e2解析：3ab3(e12e2)(3e12e2)3e16e23e12e28e2.答案：D类型一 向量的线性运算例 1(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)(2)设向量
5、a3i2j，b2ij，求13ab a23b(2ba)【解析】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.(2)原式13aba23b2ba1311 a1232 b53a53b53(3i2j)53(2ij)5103 i103 53 j53i5j.状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数
6、运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算跟踪训练 1 化简：(1)123a2ba12b 212a38b；(2)234a3b13b146a7b.解析：(1)原式122a32b a34ba34ba34b0.(2)原式234a3b13b32a74b 23432a31374b2352a1112b 53a1118b.先由运算律去括号，再进行数乘运算类型二 向量共线条件的应用
7、例 2 已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD 3(e1e2)，求证 A，B，D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值【解析】(1)证明：因为ABe1e2，BD BCCD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB.所以AB，BD 共线，且有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线(2)因为 ke1e2 与 e1ke2 共线，所以存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，所以 k1.(1)欲证三点 A，B，D 共线，即证存在实数，使AB BD
8、，只要由已知条件求出 即可(2)由两向量共线，列出关于 e1、e2 的等式，再由 e1 与 e2 不共线知，若 e1 e2，则 0.方法归纳 向量共线定理的应用(1)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若ABAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法跟踪训练 2(1)已知 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，a2e13e2，be16e2，若 a，b 共线，则 等于()A.9B4C4D9(2)设 a，b 为不共线的两个
9、非零向量，已知向量ABakb，CB2ab，CD 3ab，若 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值等于()A.10B10C2D2解析：(1)由 a，b 共线知 amb，mR，于是 2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于 e1，e2 不共线，所以6m30，2m0，所以 4.(2)因为 A，B，D 三点共线，所以ABBD(CD CB)，所以akb(3ab2ab)(a2b)，所以 1，k2.答案：(1)B(2)C(1)由 a，b共线，得 am b，建立等式求.(2)A、B、D 三点共线，设AB BD，建立等式求 k.类型三 用已知向量表示其他向量例 3 如图，ABCD 是一
10、个梯形，ABCD 且|AB|2|CD|，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已知ABe1，AD e2，试用 e1，e2 表示下列向量(1)AC_；(2)MN _.【解析】因为ABCD，|AB|2|CD|，所以 AB2DC，DC 12AB.(1)ACAD DC e212e1.(2)MN MD DA AN 12DC AD 12AB14e1e212e114e1e2.【答案】(1)e212e1(2)14e1e2结合图形：由已知得AB 2DC，分别用 e1，e2 表示AC，MN.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练 3 在本例中，若条件改为BCe1，AD e2，试用 e1，e2 表示向量MN.解析：因为MN MD DA AN，MN MC CB BN，所以2MN(MD MC)DA CB(ANBN)又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点，所以MD MC 0，ANBN0.所以 2MN DA CB，所以MN 12(AD BC)12e212e1.结合图形，在梯形 ABCD 中，M N M D DA AN，再用 e1,e2 表示M N.
