1、河南省周口市郸城县实验高中2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）1.复数在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】计算出，根据点的坐标即可判定其所在象限.【详解】，在复平面上对应的点为，位于第二象限.故选：B【点睛】此题考查复数的运算和几何意义的辨析，关键在于熟练掌握复数的乘方运算和几何意义，找出复数对应复平面内的点所在象限.2.已知函数，且，则实数的值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.【详解】由，即因为，所以则
2、，所以故选：C【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.3.若 ，则s1,s2,s3的大小关系为（ ）A. s1s2s3B. s2s1s3C. s2s3s1D. s3s2s1【答案】B【解析】选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.4.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数在区间是减函数，转化为函数的导数在区间小于等于0恒成立来解.【详解】函数在区间上是减函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又，则有，即实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】考查导数和函数的单调性，利用导数解决函数的恒成立问题.
3、5.设函数f（x）在（，+）内的导函数为f（x），若，则（ ）A. 2B. 2C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】可令lnxt，从而得出xet，代入原函数即可求出，求导函数，即可求出f（0），f（0）的值，从而得出的值【详解】令lnxt，则xet，代入得，故选：B【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题6.等差数列中，是函数的两个极值点，则（ ）A. B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，由等差数列中，是函数两个极值点，利用韦达定理可得，从而，由此能求出的值.【详解】，等差数列中
4、，是函数的两个极值点，.故选：C【点睛】本题是一道综合性题目，考查了极值点的定义、等差数列的性质以及对数的运算性质，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题.7.已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导得到，根据奇偶性排除，特殊值计算排除得到答案.【详解】，则，则函数为奇函数，排除；，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.8.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”
5、即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【详解】令，即，即，解得(舍)，故故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.9.函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立，所以，解
6、得，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数取值范围，属于基础题.10.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是A. 假设a，b，c都小于0B. 假设a，b，c都大于0C. 假设a，b，c中至多有一个大于0D 假设a，b，c中都不大于0【答案】D【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，从而得出结论.详解：用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”.故选：D点睛：用反证法
7、证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾(3)否定反设，得出原命题结论成立11.已知函数的图象在点处的切线为直线，若直线与函数，的图象相切，则必满足条件（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的图像在点处的切线及在处的切线，由题意知方程有解，利用函数零点存在定理确定范围.【详解】函数的图像在点处的切线的斜率，所以切线方程：即；，设切点为，切线的斜率；所以切线方程：，即，若直线与函数，的图像相切，则方程组有解，所以有解，构造函数，显然在上单调递增，且；所以.故选：D【点睛】本题考查利用导数的几何意
8、义求切线方程，函数与方程的应用，零点存在定理判断函数零点的分布，属于中档题.12.是定义在R上的函数的导函数，满足，都有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.【详解】解：设，则，因为，所以，所以，所以在定义域上单调递增，因为，所以，又因为，所以 ，所以不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题（每小题5分）13.复数在复平面内对应点位于第_象限.【答案】四【解析】【分析】分别讨论实部和虚部的
9、符号即可得出复数在复平面内对应点的象限.【详解】由题：复数，实部，虚部，所以复数在复平面内对应点位于第四象限.故答案为：四【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于准确得出实部和虚部的符号.14.设有三个命题：“01.函数f(x)是减函数当0a1时，函数f(x)logax减函数”当它们构成三段论时，其“小前提”是_(填序号)【答案】【解析】【分析】将以上命题写成三段论形式，即可得到小前提.【详解】将以上命题写成三段论形式：大前提：当0a1时，函数f(x)logax减函数”，小前提：01，结论：函数f(x)是减函数.故答案为：【点睛】此题考查三段论的辨析，关键在于准确确定大前提、小前提和结论，根据
10、形式得解.15.若曲线上点处的切线斜率为，则曲线上的点到直线的最短距离是_.【答案】【解析】【分析】先求导数，结合切线斜率可得切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求.【详解】由得切点为，最短距离为点到直线的距离，.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，明确切点处的导数值即为切线的斜率是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第10个图形中小正方形的个数是_【答案】55【解析】【分析】根据图1至图4的规律，第十个图形中正方形个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10即可得解.【详解】根据图形可得规律，第一
11、个图形正方形个数为：1，第二个图形正方形个数为：1+2=3，第三个图形正方形个数为：1+2+3=6，所以第十个图形中正方形个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.故答案为：55【点睛】此题考查归纳推理，根据图形关系得出规律，结合等差数列求和公式求解，属于简单题目.三、解答题（17题10分，其他每小题12分）17.已知mR，复数z，当m为何值时：（1）zR；（2）z是虚数；（3）z是纯虚数.【答案】（1）或；（2）且且；（3）或.【解析】【分析】（1）解=0，即可得解；（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则，即可得解；（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据，即可得解.【详
12、解】（1）zR，所以=0，所以，当或时，zR；（2）z是虚数，则，当且且时，z是虚数；（3）z是纯虚数，所以或时，z是纯虚数.【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.18.求曲线，所围成图形的面积【答案】平面图形的面积【解析】【详解】分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；详解：由曲线，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为3所求面积为 点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题19.已知曲线（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（
13、1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.【详解】解：（1），在点处的切线的斜率，曲线在点处的切线方程为，即（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，切线方程为，即点在该切线上，即，解得或故所求切线方程为或【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，
14、是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.20.（1）求证（2）设x，y都是正数，且x+y2证明：和中至少有一个成立【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）用作差法，直接比较与的大小，即可得出结论成立；（2）用反证法，先假设和都不成立，根据题中条件，推出矛盾，即可证明结论成立.【详解】（1）=（13+2）-（13+4）=，；（2）假设和都不成立，即2且2，x，y都是正数，1+x2y，1+y2x，1+x+1+y2x+2y，x+y2，这与已知x+y2矛盾，假设不成立，即和中至
15、少有一个成立【点睛】本题主要考查证明方法，熟记直接证明与间接证明的方法即可，属于常考题型.21.数列满足，.（1）求，.（2）根据（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）直接代入计算得到答案.（2）猜测，利用数学归纳法证明得到答案.【详解】（1），则，.（2）猜想.当时，验证成立；假设当时成立，即；当时，故时成立.综上所述：对所有成立.【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的应用能力.22.已知定义在R上的函数，为常数，且是函数的一个极值点（）求的值；（）若函数，求的单调区间；（） 过点可
16、作曲线的三条切线，求的取值范围【答案】（）；（）函数的单调增区间为和，单调减区间为；()【解析】【分析】（I）由求得值，同时要检验此时是极值点；（II）求出，由的正负得函数的单调区间，即由得增区间，由得减区间（III）设切点为，则切线的斜率为，整理得，此方程有3个根. 为此设，则的极大值大于0，极小值小于0，由此可得的范围【详解】（），是函数的一个极值点，则又，函数在两侧的导数异号， （）由（）知，则，令，得. 随的变化，与的变化如下：00极大值极小值所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 (),设切点为，则切线的斜率为，整理得，依题意，方程有3个根. 设，则令，得，则在区间，上单调递增，在区间上单调递减，因此，解得.所以的取值范围为【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、极值，考查导数的几何意义在求过某点的切线时，一般要设切线坐标为，由切线斜率的两种表示法得，解此方程后可得出切点坐标，从而求得切线方程
