1、第十章 概率 第一节 随机事件的概率【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)基本概念:必然事件:在条件S下,_发生的事件,叫做相对于条件S的必 然事件.不可能事件:在条件S下,_发生的事件,叫做相对于条件S 的不可能事件.确定事件:_事件与_事件统称为相对于条件S的确定事件.一定会 一定不会 必然 不可能 随机事件:在条件S下_的事件,叫做相对于 条件S的随机事件.频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出 现,称n次试验中事件A出现的_为事件A出现的频数;称事件A出 现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A
2、发生 的频率fn(A)稳定在_,把这个常数记作P(A),称为事件A的 概率.可能发生也可能不发生 次数nA Ann某个常数上(2)事件的关系与运算:名称条件结论符号表示包含 关系A发生B发生事件B_事件A(事件A _事件B)BA(或AB)相等 关系若_ 事件A与事件B相等A=B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)_ _包含 包含于 BA且AB AB(或A+B)名称条件结论符号表示交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)_ _互斥 事件AB为_ 事件事件A与事件B互斥AB=对立 事件AB为_事件,AB为必然事件事件A与事件B互为对立事件AB=,P(AB
3、)=1AB(或AB)不可能 不可能(3)概率的几个基本性质:概率的取值范围:_.必然事件的概率为_.不可能事件的概率为_.概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=_.对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事 件,P(AB)=_,P(A)=_.0P(A)1 1 0 P(A)+P(B)1-P(B)1 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.(2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含 的结果组成的集合的补集.A3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:近似代替法、正难则反法、转化法.
4、(2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想.(3)记忆口诀:不可能随机与必然 概率介于0与1间 对立含于互斥中 正难你就求反面【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()【解析】(1)错误.频率是在相同的条件下重复n次试验,频数与试验次数的比值,它是概率的一个近似值,频率是随机的,概率是一个客观存在的确定的数值.(2)错误.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果
5、无法确定,叫做随机试验.(3)正确.由概率的定义可知,在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(4)正确.两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修3P123T1改编)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)1.【解析】由互斥事件概率的性质可知:P(A)+P(B)1.答案:(2)(必修3P124T6改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则恰有1个红球和全是白球;至少有1个红球和全是白球;至少有1个红球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为 .【解析】至少有1个红球和全是白
6、球不同时发生,且一定有一个发生.所以中两事件是对立事件.答案:3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2015西安模拟)下列各组事件中,不是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%【解析】选B.由互斥事件的意义A,C,D都是互斥事件,而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分,故B不是互斥事件.(2)(2015福州模拟)在一次乒乓球比赛中,某班代表队的两名选手 甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠
7、军的概率为 ,则该班夺得冠军的 概率为 .【解析】由于该班夺得冠军的事件包括“甲夺得冠军”和“乙夺得冠 军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以该班夺冠的概 率为 答案:37143119.74281928(3)(2015哈尔滨模拟)若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,则P(B)=.【解析】因为A,B为互斥事件,所以P(AB)=P(A)+P(B).所以P(B)=P(AB)-P(A)=0.7-0.4=0.3.答案:0.3 考点1 随机事件及其频率和概率【典例1】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽
8、取100个进行测试,结果统计如图所示:(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.【解题提示】(1)根据统计图分析甲品牌产品寿命小于200小时的频率,利用频率估计概率.(2)分析寿命大于200小时的甲、乙品牌的产品数,计算甲产品的频率,从而估计概率.【规范解答】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为 .(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中 甲品牌产品是75个.所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 所以估计
9、已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为 52011004，147515.1452915.29【规律方法】1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.【变式训练】1.给出下列命题,其中正确命题有 个.有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是
10、 ;随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.【解析】错,不一定是10件次品;错,是频率而非概率;错,频 率不等于概率,这是两个不同的概念.答案:0 37372.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量:(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.Y5148454
11、2频数4【解析】(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物 株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作 物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为 (2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为 P(Y48)P(Y51)P(Y48)51 2 48 4 45 6 42 369046.1515215415242.15155【加固训练】A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从
12、A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率.(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间内的概率.(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们如何选择各自的路径.【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,因此用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择路线L1的有60人,选择路线L2的有40人,故由
13、调查结果得出的频率为:所用时间(分钟)1020 2030 3040 4050 5060 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分 别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知:P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),所以甲应选择L1.又因 为P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)P(B2),所以乙应选择L2.考点
14、2 随机事件间的关系【典例2】(1)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了三组事件:至少有1个白球与至少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球.其中互斥而不对立的事件共有()A.0组 B.1组 C.2组 D.3组(2)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由.恰有1名男生和恰有两名男生;至少有1名男生和至少有1名女生;至少有1名男生和全是男生;至少有1名男生和全是女生.【解题提示】(1)对立事件是在互斥的基础之上,在一次试验中两个事件必定有一个要发生.根据这个定义,对各选项依次加以分析,不难
15、得出符合题意的答案.(2)判断两个事件是否为互斥事件,就是考虑它们能否同时发生,如果不能同时发生,就是互斥事件,否则就不是互斥事件.【规范解答】(1)选A.对于,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个黄球”也会发生,比如恰好一个白球和一个黄球,故中的两个事件不互斥.对于,“至少有1个黄球”说明有黄球,黄球的个数可能是1或2,而“都是黄球”说明黄球的个数是2,故这两个事件不是互斥事件.“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都表示取出的两个球中,一个是白球,另一个是黄球.故不是互斥事件.故选A.(2)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰
16、有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了.不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.【互动探究】第(1)题条件不变,根据摸出的结果写出三对对立事件.【解析】至少有1个白球与2个全
17、是黄球;至多有1个白球与2个全是白球;1个白球1个黄球与两个都是白球或黄球.【规律方法】1.准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.【变式训练】口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取 出2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2球中至少有一个黄 球”,C=“取出
18、的2球至少有一个白球”,D=“取出的两球不同色”,E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 .A与D为对立事件;B与C是互斥事件;C与E是对立事件;P(CE)=1;P(B)=P(C).【解析】当取出的2个球中一黄一白时,B与C都发生了,故错;当取出 的2个球中恰有一白球时,C与E都发生了,故错;P(B)=,P(C)=,故错,和都是正确的.答案:4535【加固训练】从6个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中必然事件是()A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生【解析】选B.因为只有2个女生,任选3人,则至少有1人是男生.考点3 互斥事件、对立
19、事件的概率 知考情 互斥事件、对立事件概率的求解是高考考查概率的一个重要考向,常以选择题、填空题的形式出现.明角度 命题角度1:互斥事件的概率【典例3】(2015长沙模拟)经过统计,在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下:(1)求至多2人排队等候的概率是多少?(2)求至少3人排队等候的概率是多少?排队人数012345人及以上概率0.10.160.30.30.10.04【解题提示】至多2人排队等候,包含0人排队等候、1人排队等候与2人排队等候3个互斥事件;至少3人排队等候包含3人排队等候、4人排队等候与5人及以上排队等候3个互斥事件.【规范解答】设“至多2人排队等候”为事件B,“至少3人排
20、队等候”为事件C,(1)P(B)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)P(C)=0.3+0.1+0.04=0.44.命题角度2:对立事件的概率【典例4】(2015唐山模拟)已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和甲不输的概率分别为 .【解题提示】“甲胜”的对立事件是“和棋或乙胜”;“甲不输”可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件或“乙胜”的对立事件.1213【规范解答】“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为 方法一:设“甲不输”为事件A,则A可看作是“甲胜”与“和棋”这 两个互斥事件的和事件,所以P(A)=方法二:设“甲不输”为事件A
21、,则A可看作是“乙胜”的对立事件,所 以P(A)=答案:1111.236 112.623 121.33 1 2,6 3【易错警示】解答本题有两点容易出错:(1)“甲胜”的对立事件为“乙胜”,从而造成错解.(2)“甲不输”的对立事件为“乙不输”,从而造成错误.悟技法 求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率 的和,运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接 求法就显得较简便.A通一类 1.(2015合肥模拟)从一箱
22、产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到 一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率 为()A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3【解析】选C.事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件,由于P(A)=0.65,所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.2.(2015日照模拟)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件 B.B+
23、C与D是互斥事件,也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件 D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件【解析】选D.因为A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是 一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的 Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个 事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的 和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.3.(2015威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2 粒都是黑子的概率为 ,都是白子的概率是 .则从中任意取出2粒 恰好是同一色的概率是 .171235【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白
24、 子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=AB,且 事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=.即任意取出2粒恰 好是同一色的概率为 .答案:1121773535173517354.(2015北京模拟)有编号为1,2,3的三个白球,编号4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率.(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.【解析】从六个球中取出两个球的基本事件是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(
25、4,5),(4,6),(5,6),共计15个.(1)记事件A为“取出的两个球是白球”,则这个事件包含的基本事件 是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个,故P(A)=记“取出的两个球是黑球”为事件B,同理可得P(B)=31155；1.5记事件C为“取出的两个球的颜色相同”,A,B互斥,根据互斥事件的 概率加法公式,得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”,则事件C,D对立,根据 对立事件概率之间的关系,得P(D)=1-P(C)=1-2.523.55自我纠错24 求互斥事件的概率【典例】抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一 面的数不超过3”,则P(AB)=_.【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:不清楚事件A,B的关系,误以为事件A,B是互斥事件导致错解.【规避策略】理解互斥事件、对立事件的含义,准确按定义判断事件的关系.有时需要利用转化思想,将不互斥的事件,重新组合转化为互斥事件.【自我矫正】事件AB可以分成事件C=“朝上一面的数为1,2,3”与事件D=“朝上一面的数为5”,则事件C和事件D互斥,故P(AB)=P(CD)=P(C)+P(D)=答案:3142.6663 23
