1、第三章 基本初等函数()第1讲 指数式与指数函数 考纲要求考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.1.能够根据幂的运算法则进行幂的运算2能够利用指数函数的单调性比较大小、解指数不等式3会解指数方程，并能利用数形结合的思想判断方程解的个数.1根式(1)根式的概念一般地，如果 xna，那么 x 就叫做 a 的 n 次方根，其中 n0且 nN*.式子叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方
2、根是一个负数，这时，a 的 n 次方根记作；n an a当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们是互为相反数，这时，a 的 n 次方根可记作n a；(n a)na；当为奇数时，n ana；当为偶数时，n an|a|a a0a a0，m，nN*，且 n1)(2)正数的负分数指数幂的意义mna 1mna 1n am(a0，m，nN*，且 n1)(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)yax(a1)yax(0a1)图象定义域值域性
3、质在 R 上是增函数在 R 上是减函数4指数函数的图象与性质R(0，)过点(0,1)，即 x0 时，y1(B)A1,1C0B1D1,0)D2函数 yax1(a0 且 a1)的图象必经过点(A(0,1)B(1,0)C(2,1)D(0,2)1已知集合 M1,1，NxZ122x10，则(2x14332)(2x14332)4x12(xx12)_.23x2，则关于 x 的方程 f(x)110 x在0，103 上根的个数是()解析：由f(x1)f(x1)知f(x)是周期为2 的偶函数，故当 x1,1时，f(x)x2.答案：C图D4由周期为2可以画出图象如图D4，结合y110 x的图象可知，方程f(x)11
4、0 x在x0，103上有三个根，要注意在x3，103 内无解答案：C(0a0 且 a1)的图象经过点2，419.a0 且 a1，a3 或 a13.当 a3 时，f(x)12(3x3x)当 a13时，f(x)1213x13x 12(3x3x)所求解析式为 f(x)12(3x3x)解析：(1)f(x)的图象过点2，419，12(a2a2)419，即 9a482a290.解得 a29 或 a219.(2)设 x1，x20，)，且 x1x2，则f(x1)f(x2)1122333322xxxx12(13x 23x)1221123333xxxx12(13x 23x)1212313xxxx.由 0 x1x2
5、,13x 23x 1，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)因此 f(x)在0，)上是增函数我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的f(x)3x3x2可以看做 y3x2与 y3x2 相加而得到；也可通过 y12t1t，t3x复合而成因此可利用复合函数的单调性判断 f(x)3x3x2的单调区间【互动探究】3对于函数 f(x)的定义域中任意的 x1，x2(x1x2)，有如下结论：f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；fx1fx2x1x20；fx11x10 x10；f(x1)1fx1.当 f(x)12x
6、时，上述结论中正确结论的序号是_.解析：因为 f(x)12x，f(x1x2)1212xx112x212xf(x1)f(x2)，所以成立，不成立；显然函数 f(x)12x 单调递减，即fx1fx2x1x20，故成立；当 x11，fx11x10 时，0f(x1)1，fx11x10，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时 x 的取值范围例题：(2011年上海)已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，1222xx，a0a(1222xx)0b(1233xx)0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在 R 上是增函数当 a0，b0.当 a0 时，32x a2b，则 x32log a2b；
7、当 a0，b0 时，32x a2b，则 x0，b0 时，对于任意 x1，x2R，且 x10，包括 a0，b0和 a0，b0两种情形；(2)中ab0，b0和 a0两种情形分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略1分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则，并且要注意运算的顺序2利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小当幂的底数、指数都不同时，可选择中间量进行比较根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算，依据为nma m an，在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a0 且 a1，对于指数函数的底数 a，在不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分 a1 和 0a1 两种情况进行讨论，以便确定其性质
