1、13正弦定理、余弦定理的应用1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题2能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题,学生用书P11)1实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做仰角；视线在水平线下方所成的角叫做俯角(如图)(2)方向角与方位角指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做方向角目标方向线的方向一般用“某偏某多少度”来表示前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示
2、：北偏东60、北偏西75、南偏西15、南偏东40.指北的方向线顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离坡度.坡面与水平面的夹角叫做坡角为锐角记坡度为i，坡角为，水平距离为x，垂直距离为y，则它们的关系如下：itan .2解三角形应用题的一般思路1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( )(3)方位角和方向角是一样的( )解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长(2)错误
3、，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得(3)错误方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)答案：(1)(2)(3)2如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC50米，ABC105，BCA45，则A，B两点之间的距离为_米解析：在ABC中，BC50米，ABC105，BCA45，所以BAC180ABCBCA1801054530.由正弦定理，得AB50.答案：
4、503如图，A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD_ m.解析：在ABD中，BDA1804512015.由，得AD800(1)(m)因为CD平面ABD，CAD45，所以CDAD800(1) m.答案：800(1)测量距离问题学生用书P12如图所示，在河岸上可以看到河对岸的两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40 m的P，Q两点，测得MPN75，NPQ45，MQP30，MQN45，试求这两个目标物M，N之间的距离【解】在PQN 中，PQ40，PQN304575，NPQ45，所以
5、PNQ180754560.根据正弦定理，得.所以NQ.同理，在PQM 中，MQ40.在MNQ中，根据余弦定理得MN2MQ2NQ22MQNQcosMQN，所以MNm.故这两个目标物M，N之间的距离为m.正、余弦定理交汇求距离的两个关键点(1)画示意图，弄清题目条件根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的(2)选准入手点找出已知边长的三角形，结合已知条件选准“可解三角形”，并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解 1.如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM3km，且AOM.现要修筑一条铁
6、路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan 2，cos ，AO15 km.(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长解：(1)在AOM中，AO15，AOM且cos ，OM3，由余弦定理得，AM2OA2OM22OAOMcosAOM(3)2152231513915152315372.所以AM6，即大学M与站A的距离AM为6 km.(2)因为cos ，且为锐角，所以sin ，在AOM中，由正弦定理得，即，所以sinMAO，所以MAO，所以ABO，因为tan 2，所以sin ，cos ，所以sinABOsin，又AOB，所以sin AOBs
7、in ()，在AOB中，AO15，由正弦定理得，即，所以AB30，即铁路AB段的长AB为30 km.测量高度问题学生用书P12在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30的300米的地方，在A点测得山顶C的仰角是30，求山高【解】如图所示，山高为CD，AB300.由题意知ADB45，DAC30，DAB60，所以ABD180(4560)75.在 ABD中，由正弦定理，得，所以AD150(1)(米)在RtADC中，CDADtan 30150(1)50(3)15050(米)所以山高为15050米解决测量高度问题时要注意的两个问题(1)要清楚仰角与俯角的区别及联
8、系(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决 2.一轮船要通过一座跨江大桥，驾驶员在A处测得桥拱上端D的仰角为8，轮船向前航行200 m后到B，又测得桥拱上端D的仰角为26，若轮船驾驶舱离水面20 m，轮船最高处距离驾驶舱上方有30 m问轮船能否通过这座跨江大桥？(sin 180.309 0，sin 1540.438 4，sin 80.139 2，精确到0.1 m)解： 如图，DAB8，DBC26，AB200 m.ADsin 154283.8(m)DCADsin 839.5(m)故海轮能通过这座跨江大桥测量角度问题学生用书P1
9、3某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60方向相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向【解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD20，AC20.由题意知AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，因为DC2AD2AC2，所以DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.所以BAC30.又因为B位于A南偏
10、东60方向，603090180，所以D位于A的正北方向又因为ADC45，所以台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45方向测量角度问题的解题思路(1)通过认真审题，结合已知条件画出示意图(2)确定所求角在示意图中对应的可解三角形 (3)把已知条件中的方向角、方位角、距离等，借助平面几何和立体几何的相关知识，转化成该三角形中的边和角(至少有一边)(4)利用正弦定理或余弦定理求解3.甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结
11、果保留根号，无需求近似值)解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得：(28t)281(20t)22920t，128t260t270，解得t或t(舍去)，所以AC21(海里)，BC15(海里)，根据正弦定理，得sinBAC，cosBAC.又ABC120，BAC为锐角，所以45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cosBACcos 45sinBAC.1测量距离的常见情形(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去
12、解决的方法(2)测量平面上两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为求三角形的边长的问题然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正、余弦定理解决2测量高度时常见的三种数学模型及其特征(1)有以下三种数学模型底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”3测量角度问题测量角度问题主要是指
13、在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为_m.解析：由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4.答案：4 2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A
14、点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB_解析：因为DACACBD603030，所以ADC为等腰三角形所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050 米答案：50 米3如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B处救助，则sinACB_解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.答案：4如图，从气球A上测得正前方的河
15、流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m)答案：60,学生用书P77(单独成册)A基础达标1有一山坡，倾斜角为30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为_米解析：如图，hBCsin 30(ABsin 30)sin 30100，所以AB400.
16、答案：4002有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船速度为m/s，为使所走路程最短，小船应朝与水速成_方向行驶解析：如图，小船从A处过河，则设小船行驶的方向与岸成，则因为水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，则45，小船的方向与水速成18045135.答案：1353在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为，由此点向塔基沿直线行走30 m后，测得塔顶的仰角为2，再沿直线向塔基行进30 m后，又测得塔顶仰角为4，则塔高为_m.解析：如图，BCCP30，BPAB30，由余弦定理可得BCP120.所以PCD60.所以PD15.答案：154一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处
17、，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8海里此船的航速是_海里/小时解析：在ABS中，易知BAS30，ASB45，且边BS8，利用正弦定理可得，即，得AB16，又因为从A到B匀速航行时间为半个小时，所以速度应为32(海里/小时)答案：325. 如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.答案：6某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗
18、杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗解析：在BCD中，BDC45，CBD30，CD10(米)由正弦定理，得BC20(米)在RtABC中，ABBCsin 602030(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)答案：0.67. CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，ABC，BAD，ABBC400米，AD250米，则应开凿的隧道CD的长为_米解析：在ABC中，ABBC400米，ABC，所以ACAB400米，BAC.所以C
19、ADBADBAC.所以在CAD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD400225022400250cos122 500.所以CD350米答案：3508如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，则B，D的距离为_(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解析：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边
20、AD的中垂线，BDBA，在ABC中，即AB，因此，BD0.33 km.故B，D的距离约为0.33 km.答案：0.33 km9如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？解：过点B作BDAE交AE于D，由已知，AC8，ABD75，CBD60，在RtABD中，ADBDtanABDBDtan 75，在RtCBD中，CDBDtanCBDBDtan 60，ADCDBD(tan 75tan 60)AC8，BD43.8.因此该军舰没有触礁的危险10一艘海
21、轮从A处出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行从A出发直接到达C，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到0.1，距离精确到0.01 n mile，cos 1370.731 4，sin 1370.682 0，sin 190.325 5)解：在ABC中，ABC1807532137.AC113.16.sinCAB0.325 5.所以CAB19.0，75CAB56.0.所以此船应沿北偏东约56.0方向航行，需航行113.16 n mile.B能力提升1一个大型喷水池的中央有
22、一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_ m.解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：502一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75方向逃窜缉私艇的速度为14 n m
23、ile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45的方向去追则追缉所需的时间是_小时，角的正弦值为_解析：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB14x，BC10x，ACB120.所以(14x)2122(10x)2240xcos 120，整理得，4x25x60，所以x2，AB28，BC20.在ABC中，由正弦定理得，sin .故追缉所需时间为2小时，角的正弦值为.答案：23如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB20 m，在A处测得点P的仰角为30，在B处测得点P的仰角为45，同时可测得AOB60，则旗杆的高度约为
24、_(保留小数点后一位)解析：设旗杆的高度为h，由题意，知OAP30，OBP45.在RtAOP中，OAh.在RtBOP中，OBh.在AOB中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh.所以h2176.4，所以h13.3(m)所以旗杆的高度约为13.3 m.答案：13.3 m4(选做题)空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBx.在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以2662x2(x)22xx，所以x38(m)所以气球的高度为38 m.
