1、第二讲 参数方程 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程1双曲线、抛物线的参数方程及其与普通方程间的互化(重点、易错点)2双曲线、抛物线的参数方程的应用(难点)普通方程参数方程x2a2y2b21(a0，b0)x_，y_(为参数)y2a2x2b21(a0，b0)x_，y_(为参数)1双曲线的参数方程asec btan bcot acsc 1双曲线x2 3sec，y6tan(为参数)的离心率为()A2 33 B 32C2 D12解析：sec x2 3，tan y6，sec2tan2x212y2361.c2a2b2123648，c4 3.eca4 32 32.答案：C普通方程参数方程y22px(p0)x
2、_，y_(t为参数)y22px(p0)x_，y_(t为参数)x22py(p0)x_，y_(t为参数)x22py(p0)x_，y_(t为参数)2抛物线的参数方程2pt22pt2pt22pt2pt2pt2)2pt2pt22抛物线x2t，yt2(t为参数)的焦点为()A(1,0)B(0,1)C(1,0)D(0，1)解析：将tx2代入到yt2中，消去t，得x24y，抛物线的焦点为(0,1)答案：B1双曲线的参数方程中，参数 的三角函数 cot、sec、csc 的意义分别为 cot 1tan，sec 1cos，csc 1sin.2抛物线的参数方程x2pt2，y2pt(t 为参数)，由于yx1t，因此 t
3、 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数(1)双曲线x2 3tan，y6sec(为参数)的焦点坐标是_.(2)将参数方程xtan t，y1cos 2t1cos 2t(t 为参数)化为普通方程是_.思路点拨(1)可先将参数方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去参数t.双曲线、抛物线参数方程的基本问题解析：(1)将x2 3tan，y6sec 化为y236x2121，可知双曲线焦点在y轴，且c 36124 3，故焦点坐标是(0，4 3)(2)由y1cos 2t1cos 2t2sin2t2cos2ttan2t，将tan tx代入上式，得yx2，即为所求方程答案：(1)(0
4、，4 3)(2)yx2【题后反思】1.解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义2对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec，那么焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec，那么焦点在y轴上1(1)如果双曲线xsec，y6tan(为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是_.(2)过抛物线y2t，xt2(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|_.解析：(1)由双曲线参数方程可知a1，因此点P到它左焦点的距离|PF|10或|PF|6.(2)化为普通方
5、程是xy24即y24x，p2.|AB|x1x2p8.答案：(1)10或6(2)8设直线 AB 过双曲线x2a2y2b21 的中心 O，与双曲线交于 A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点求证：直线 PA，PB 斜率的乘积为定值思路点拨先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，再证kPAkPB定值双曲线参数方程的应用证明：如图所示，设 Pcos，btan ，Aacos，btan .AB 过原点 O，A，B 的坐标关于原点对称于是有B acos，btan .从而：kPAkPBbtan tan 1cos a 1cos btan tan a1cos 1cos b2tan2 tan2 a21cos2 1
6、cos2 b2sin2 cos2 cos2 sin2 a2cos2 cos2 b21cos2 cos2 cos2 1cos2 a2cos2 cos2 b2a2，为定值【题后反思】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角的函数，再运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果2已知圆O1：x2(y2)21上一点P与双曲线x2y21上一点Q，求P、Q两点距离的最小值解：设 Q(sec，tan)，在O1QP 中，|O1P|1，|O1P|PQ|O1Q|.又|O1Q|2sec2(tan 2)2(tan2 1)(tan
7、2 4tan 4)2tan24tan 52(tan 1)23.当 tan 1 时，|O1Q|2 取最小值 3，此时|O1Q|min 3.即|PQ|min 31.设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程抛物线参数方程的应用思路点拨解答本题可以设抛物线上任意一点的坐标的参数形式x2pt2，y2pt，然后求出交点的坐标，消去参数即可解：设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t0时，直线OP的方程为y1tx，QF的方程为y2txp2，它们的交点M(x，y)由方程组y1tx，y2txp2确定，两式相乘，消去 t 后，得
8、y22xxp2.M 的轨迹方程为 2x2pxy20(x0)当 t0 时，M(0,0)满足题意且适合方程 2x2pxy20,故所求的轨迹方程为 2x2pxy20.【题后反思】在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标3连接原点O和抛物线2yx2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线解：设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为x2t，y2t2，由中点
9、坐标公式得x04t，y04t2.变形为y014x20，即P点的轨迹方程为x24y，它表示抛物线.规范解答系列(三)圆锥曲线参数方程的综合应用【典例】(10 分)以平面直角坐标系的原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 C 的参数方程为x2cos，y 3sin(是参数)，直线 l 的极坐标方程为 cos6 2 3.(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；(2)设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值规范解答(1)cos6 2 3，cos cos 6sin sin 6 2 3.32 x12y2 3.即直线 l 的直角坐标方程为 3xy
10、4 30.2 分由x2cos，y 3sin 得x24y231.即曲线 C 的普通方程为x24y231.4 分(2)设点P(2cos，3sin)，则点P到直线l的距离d|2 3cos 3sin 4 3|2|15cos 4 3|2，其中tan 12.8分当cos()1时，dmax 154 32.即点P到直线l的距离的最大值为 154 32.10分特别关注圆锥曲线的参数方程的应用价值在于：(1)通过参数简明地表示曲线上任一点的坐标(2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解如最值、参数取值范围等问题【跟踪训练】在椭圆 x216 y2121上找一点，使这一点到直线x2
11、y120的距离最小解：设椭圆的参数方程为x4cos，y2 3sin，d|4cos 4 3sin 12|54 55|cos 3sin 3|4 55 2cos3 3，当cos3 1时，dmin4 55，此时所求点为(2，3).点击进入WORD链接P28探究椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆你能说明它的构造原理吗？(提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程)答：如图建立直角坐标系，设M(x，y)，MB
12、x，则易得xacos，ybsin.这就是椭圆 x2a2 y2b2 1的参数方程所以点M的轨迹是椭圆P29思考与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 x225y2161的前提下，求出zx2y的最大值和最小值吗？答：设x5cos，y4sin，则z5cos 8sin 89cos()，其中满足cos 589，sin 889，当2k(kZ)时，z有最大值 89，此时，5cos 5cos(2k)2589，4sin 4sin(2k)3289，即当点M位于25 8989，32 8989时，z取最大值 89.当2k(kZ)时，z有最小值 89.此时，5cos 5cos(2k)5cos 2589，4s
13、in 4sin(2k)4sin()3289，即当点M位于25 8989，32 8989时，z取最小值 89.P33思考怎 样 根 据 抛 物 线 的 定 义 选 取 参 数，建 立 抛 物 线 x2 2py(p0)的参数方程？答：根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下：设点M(x，y)是抛物线x22py(p0)上的任意一点，点M到准线yp2的距离为t，则有ytp2.|MF|t yp22x2t2 tp2p22x2t2(tp)2x2t2x 2ptp2，所以抛物线的参数方程为ytp2，x 2ptp2(t为参数)和ytp2，x 2ptp2(t为参数)P34探究如右图所示，O是直角坐标原点，A，
14、B是抛物线y22px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，点A、B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？答：根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1t2，且t1t20)，则|OA|2pt2122pt122p|t1|t211，|OB|2pt2222pt222p|t2|t221.因为OAOB，所以OA OB 0.即2pt212pt222pt12pt20，所以t1t21.AOB的面积为SAOB12|OA|OB|122p|t1|t2112p|t2|t2212p2|t1t2|t211t2212p2 t21t2222p2t211t2122p2 22
15、4p2.当且仅当t211t21，即t11，t2t1时，等号成立所以当点A，B关于x轴对称时，AOB的面积最小，最小值为4p2.课后习题解答习题2.2(第34页)1解：因为2a15 565,2b15 443，所以a7 782.5，b7 721.5.故所求椭圆参数方程为x7 782.5cos，y7 721.5sin(为参数)2.证明：设M(acos，bsin)，P(xP,0)，Q(xQ,0)因为P、Q分别为B1M、B2M与x轴的交点，所以kB1PkB1M，kB2QkB2M.由斜率公式并计算得xP acos 1sin，xQ acos 1sin.所以|OP|OQ|xPxQ|a2(定值)3证明：设等轴双
16、曲线的普通方程为x2y2a2(a0)，则它的参数方程为xacos，yatan(为参数)设Macos，atan 是双曲线上任意一点，则点M到两渐近线yx及yx的距离之积是acos atan 1212acos atan 1212a2cos2 a2tan2 2a22 12a2(常数)4证明：设点A，B的坐标分别为(2pt 21，2pt1)，(2pt 22，2pt2)，则点C的坐标为(2pt22，2pt2)直线AB的方程为y2pt11t1t2(x2pt21)，所以点D的坐标为(2pt1t2,0)；直线AC的方程为y2pt11t1t2(x2pt21)，所以E的坐标为(2pt1t2,0)因为DE的中点为原点O(0,0)，所以抛物线的顶点O平分线段DE.5解：直线OA的方程为ykx，直线OB的方程为y 1kx.解方程组ykx，y22px，得点A的坐标为2pk2，2pk；解方程组y1kx，y22px，得点B的坐标是(2pk2，2pk)设点M的坐标为(x，y)，则x2pk22pk22pk2pk2，y2pk 2pk2pkpk.所以，线段AB的中点M的轨迹的参数方程是xpk2pk2，ypkpk(k为参数)谢谢观看！
