1、2012江苏数学模拟试卷（二） 说明：1 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2 本卷总分160分，考试时间120分钟一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1若复数满足（是虚数单位），则 2已知全集，集合，则集合= 3在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+| y | 2的概率为 4已知且，则 5已知定义域为的函数是奇函数，则 6右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 7在中，已知，则 8在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则
2、中间一组（即第五组）的频数为 9已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 10已知变量，则的最小值为 11等比数列中，函数，则曲线 在点处的切线方程为 12将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x的焦点为F 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 14设等差数列的前项和为，若对任意的等差数列及任意的正整数都有不等式成立，则实数的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分15（本小题满分14分）已知函数（1）求函数的最小值
3、和最小正周期；（2）设的内角、的对边分别为，且，若，求，的值16（本小题满分14分）第16题如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面是直角梯形，其中，是上一点(1)若，试确定点的位置； (2)求证: 17（本小题满分14分）BNAOC东北第17题如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中,在距离地（为正数）公里北偏东角的处住有一位医学专家，其中,现有110指挥部紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经测算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时. （1）求关于的函数关系；（2）当为何值时，抢救最及时.18（本小题满分
4、16分）已知双曲线的左右焦点为、，P是右支上一点，于H，（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过、，P的圆截轴线段长为8，求该圆的方程19（本小题满分16分）已知数列和满足：，其中为实数，为正整数（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设，为数列的前项和是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由20（本小题满分16分）已知函数的图像在a，b上连续不断，定义： ，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称
5、函数为上的“k阶收缩函数”（1）若，试写出，的表达式；（2）已知函数试判断是否为-1，4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；（3） 已知，函数是0，b上的2阶收缩函数，求b的取值范围数学（理科附加题）21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲如图，延长O的半径OA到B，使OAAB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C求证：ACBOACB选修42：矩阵与变换已知矩阵，向量求向量，使得C选修43：坐标系与参数方程已知椭圆的极坐标方程为，焦距为2，求实数a的值D选修44：不等式选讲已知函数
6、（为实数）的最小值为，若，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 23已知展开式的各项依次记为设（1）若的系数依次成等差数列，求的值；（2）求证：对任意，恒有. 2012江苏数学模拟试卷（二）答案1； 2； 3； 4； 52； 67500；74； 8360；9； 109； 11；
7、12； 13 1415 解：（1），3分则的最小值是2， 5分最小正周期是； 7分（2），则， ， 10分，由正弦定理，得， 11分由余弦定理，得，即， 由解得 14分16（1） 7分（2）14分17解：（1）以为原点，正北方向为轴建立直角坐标系， 2分则 .设，有,BNAOC东北 , .又，直线的方程为：. 6分 由得的纵坐标，. 10分（2）由（1）得,令 ，当且仅当即,此时时，上式取等号， 13分当公里时，抢救最及时. 14分18 （1）（2）（3）19解（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3，即矛盾所以an不是等比数列()解：因为bn+1=(-1)n+1an
8、+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18)，所以当18，bn=0(nN+)，此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0，由上可知bn0，(nN+)故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列()由（）知，当=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 令，则当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=，f(n)的最小值为f(2)= ，于是，由式得a-(+18
9、)当a3a存在实数，使得对任意正整数n，都有aSn b20. 解：（1）由题意可得：，。 （2）， 当时， 当时， 当时，综上所述，。即存在，使得是-1,4上的“4阶收缩函数”。（3），令得或。函数的变化情况如下：x02-0+0-04令得或。（i）当时，在上单调递增，因此，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，对恒成立；存在，使得成立。即：对恒成立，由解得或。要使对恒成立，需且只需。即：存在，使得成立。由解得或。所以，只需。综合可得。（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，显然当时，不成立。（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，显然当时，不成立。综合（i）（i i）（i
10、 i i）可得：。数学（理科附加题）答案A证明：连结OE、AE，并过点A作AFDE于点F DE是圆的一条切线，E是切点，OEDC又BCDE，OEAFBCCAFACB，FAEAEOOAOE，AEOEAO EAOFAE 5分又点A是OB的中点，点F是EC的中点AEACCAFFAEEAOFAECAF，即ACBOAC 10分B， 4分 设，则= 8分 ， 10分C椭圆的普通方程为 5分由，得a=12 10分D因为，2分所以时，取最小值，即，5分因为，由柯西不等式得，8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 10分22 解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，整理得轨迹的方程为（且）3分（2）:学设由可知直线，则，故，即， 5分直线OP方程为： ；直线QA的斜率为：，直线QA方程为：，即 联立，得，点M的横坐标为定值 8分由，得到，因为，所以，由，得，的坐标为存在点P满足，的坐标为10分23解：（1）依题意，的系数依次为，所以，解得； 4分（2）设，则考虑到，将以上两式相加得：所以又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，所以对任意， 10分
