1、1/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538第 8 讲函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一零点或零点存在区间的确定万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于 0；第二步若其乘积小于 0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例 1函数 43xf xex的零点所在的区
2、间为（）A10,4B 1 1,4 2C 1 3,2 4D 3,14【答案】B【解析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于 0：函数 43xf xex单调递增,只有一个零点,而0231414141eef,0121ef；第二步，若其乘积小于 0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可：由02141ff,可知函数的零点在 1 1,4 2故选 B考点：零点存在定理【变式演练 1】方程 220 xx的解所在的区间为（）A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【答案】B2/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下
3、载 QQ 群：457512538【解析】试题分析：由题意得，设函数 22xf xx，则 0102021,121 21ff ，所以 010ff，所以方程220 xx的解所在的区间为(0,1)，故选 B.考点：函数的零点.【变式演练 2】【山西省运城市高三上学期 9 月调研数学（理）】已知函数 2943,02log9,0 xxxf xxx，则函数 yff x的零点所在区间为（）A73,2B1,0C 7,42D4,5【答案】A【分析】首先求得0 x 时，fx 的取值范围.然后求得0 x 时，fx 的单调性和零点，令 0ffx，根据“0 x 时，fx 的取值范围”得到 32log93xf xx，利用零
4、点存在性定理，求得函数 yff x的零点所在区间.【详解】当0 x 时，34f x.当0 x 时，2932log92log9xxxfxx 为增函数，且 30f，则3x 是 fx 唯一零点.由于“当0 x 时，34f x.”，所以令 0ffx，得 32log93xf xx，因为 303f，33778 2log98 1.414log 393.312322f ，所以函数 yff x的零点所在区间为73,2.故选：A【变式演练 3】函数 2exf x 的图象与函数 15g xx的图象交点所在的区间可能为（）3/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 Q
5、Q 群：457512538A0,1B1,2C2,3D3,4【来源】全国卷高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】B【分析】构造函数，由零点存在定理判断【详解】设1()2e5xh xx，exy 是 R 上的增函数，1yx在(0,)和(,0)上都是减函数，因此()h x 在(,0)和(0,)上都是增函数，由选项只考虑(0,)上的情形，(1)21 5260hee，22111(2)252022hee，所以()h x 在(1,2)上有零点所以函数 2exf x 的图象与函数 15g xx的图象交点所在的区间可能为故选：B类型二零点的个数的确定方法 1：定义法万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步
6、判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于 0；若其乘积小于 0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论.例 2.函数xexfx3)(的零点个数是（）A0B1C 2D3【答案】B【解析】第一步，判断函数的单调性:由已知得03)(xexf，所以)(xf在 R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于 0；若其乘积小于 0，则该区间即为存在唯一的零点区间：4/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538又因为0
7、3)1(1ef，03)1(ef，所以0)1-()1(ff第三步，得出结论：所以)(xf的零点个数是 1，故选 B考点：函数的零点【变式演练 4】已知函数 fx 是定义在 R 上的偶函数，满足 2fxfx，当0,1x时，cos 2fxx，则函数 yfxx的零点个数是（）A2B3C4D5【来源】吉林省松原市长岭县第二中学高三下学期三模考试数学试题【答案】A【分析】函数 yfxx的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数 fx 周期2T，当0,1x时，cos 2fxx，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.【详解】2fxfx，则函数 fx 是周期2T 的周期函数又函数 fx
8、 是定义在 R 上的偶函数，且0,1x时，cos 2fxx，当1,0 x 时，coscos22fxfxxx，令 0fxx，则函数 yfxx的零点个数即为函数 yf x和 g xx的图象交点个数，分别作出函数 yf x和 g xx的图象，如下图，显然 fx 与 g x 在1,0上有 1 个交点，在0,1 上有一个交点，当1x 时，1g x ，而 1f x ，5/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538所以1x 或1x 时，fx 与 g x 无交点综上，函数 yf x和 g xx的图象交点个数为 2，即函数 yfxx的零
9、点个数是 2故选：A【变式演练 5】方程3sinxx的根的个数是（）A3B4C5D6【答案】C【解析】试 题 分 析：大 致 图 形 如 图 所 示,接 下 来 比 较xxf)(与xxgsin3)(在0 x处 的 切 线 斜率,xxf21)(,0 x时,)(xf,即)(xf在0 x处的切线方程为 y 轴,又xxgcos3)(,在3)0(gk,因此在 y 轴右侧)(xg图象较缓,由图象可知,共有5个交点,故选 C考点：图象的交点【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关
10、系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而 y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0 x处的切线斜率得到,为本题的易错点【变式演练 6】（多选）若函数 f(x)4,22021()(3),2xm xxm xmx 恰有两个零点，则正整数 m 的取值可能为（）A1B2C15D166/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538【来源】山东省济南市章丘区高三 5 月份模拟数学试题【答案】AD【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题【详解】函数 f(x)的零点即为方程 f(x)0 的解当 m1
11、 时，解方程 f(x)0，当 x2 时，4x10，解得：x0；当 x2 时，2021（x1）（x3）0，解得：x1 或 3，只取 x3函数有两个零点 0 或 3A 对；当 m2 时，解方程 f(x)0，当 x2 时，4x20，解得：x 12；当 x2 时，2021（x2）（x6）0，解得：x2 或 6函数有三个零点 12 或 2 或 6B 错；当 m15 时，解方程 f(x)0，当 x2 时，4x150，解得：xlog4152；当 x2 时，2021（x15）（x45）0，解得：x15 或 45函数有三个零点 log415 或 15 或 45C 错；当 m16 时，解方程 f(x)0，当 x2
12、 时，4x160，解得：x2 不成立；当 x2 时，2021（x16）（x48）0，解得：x16 或 48函数有两个零点 16 或 48D 对；故选：AD方法 2：数形结合法万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步函数()g x 有零点问题转化为方程()()f xm x有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数()yf x和()ym x的图像；第三步观察并判断函数()yf x和()ym x的图像的交点个数第四步由()yf x和()ym x图像的交点个数等于函数()0g x 的零点即可得出7/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载
13、QQ 群：457512538结论.例 3.方程31()|log|3xx的解的个数是（）A3B2C1D0【答案】B【解析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()yf x和()ym x的图像：第二步，观察并判断函数()yf x和()ym x的图像的交点个数：由图象可知，函数1()3xy 与函数3logyx有 2 个交点；第三步，由()yf x和()ym x图像的交点个数等于函数()0g x 的零点即可得出结论：所以方程有 2 个解。考点：函数与方程。【变式演练 7】【上海市徐汇区高三上学期一模】方程8coslogxx的实数解的个数是（）A 4B3C 2D1【答案】B【分析】将方程的实数根的个
14、数，转化为两个函数的交点个数.【详解】分别画出函数cosyx和8logyx的图象，8/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538由图象可知两个函数的交点个数是 3 个，所以方程程8coslogxx的实数解的个数是 3 个.故选：B【变式演练 8】己知函数 1,1,ln,1xexf xg xf xax x，若 g x 存在两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A1,0B1,0C0,1D0,1【来源】重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【答案】A【分析】由题可得 fx 的图像与 ya 的图像有 2 个交点，
15、数形结合即可求出.【详解】由题，g x 存在两个零点，等价于 fx 的图像与 ya 的图像有 2 个交点，画出 fx 的函数图象如下：由数形结合知01a ，即 10a.故选：A.9/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538【变式演练 9】知关于 x 的方程 22xxaa有 3 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为（）A0,2B2,4C2,D4,【来源】重庆市第八中学高三下学期适应性月考卷（七）数学试题【答案】D【分析】先判断0a 时不符合题意，再将问题转化为 21,0f ttt ta与直线1y 有 3 个不同的交
16、点，判断0a 时 21f ttta单调不符合题意，最后画0a 时的图象进行数形结合，利用12af 解得参数范围即可.【详解】0a 时，22xxaa即 20 x 无解，显然不符合题意；0a 时，令20 xtt，则原方程等价于atat，即211tta，令 21f ttta，则 21,0f ttt ta与直线1y 有 3 个不同的交点.二次函数210ytta 的根为 a 和 0，若0a 时，显然0t 时，210ytta，且单调递增，即 21f ttta单调，不可能与直线1y 有 3 个不同的交点若0a 时，作出 f t 的草图如图所示，又221124aatttaa ，则只需满足2af 14a ，得4
17、a.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；10/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【反馈练习】1函数()()xf xe的图象与函数 2lng xx的图象交点横坐标所在的区间可能为（）A0,1B1,2C2,3D3,4【来源】重庆市南开中学高三上学期 7 月考试数学试题【答案】B【分析】将问题转化为求
18、函数()()()ln2xh xf xg xex的零点所在的区间，利用零点存在性定理求解即可【详解】解：函数()()xf xe的图像与函数 2lng xx的图像交点横坐标，即为函数()()()ln2xh xf xg xex（0 x）的零点，因为11()02xh xex，所以()h x 在(0,)上为增函数，且图像连续，因为1(1)ln1 220hee，2(2)ln 22ln 220hee，所以(1)(2)0hh，所以()h x 的零点所在的区间为1,2，所以函数()()xf xe的图像与函数 2lng xx的图像交点横坐标所在的区间为1,2，故选：B2已知函数()ln(1)f xxxxk x在(
19、1,)上有唯一零点，若(,1)kn n，nZ，则 n （）A2B3C4D5【来源】全国名校高三高考数学（文）冲刺试题（二）【答案】B【分析】对函数()f x 求导得()fx，再对 k 分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为函数最值即可作答.【详解】11/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538因(1,)x ，()ln(1)f xxxxk x，则()ln2fxxk，k2时，恒有()0fx，()f x 在(1,)上单调递增，()(1)1f xf，()f x 在(1,)上无零点，2k 时，2()0kfxx
20、e，而()fx 在(1,)上单调递增，从而()f x 在2(1,)ke 上单调递减，在2(,)ke 上单调递增，22222min()()(2)kkkkkf xf ekeekekek，因函数()ln(1)f xxxxk x在(1,)上有唯一零点，则2()0kf e，即20kek，令2()(2)kg kek k，则2()10kg ke ，()g k 在(2,)单调递减，而2(3)30,(4)40gege，于是得()g k 的零点(3,4)k，所以3n.故选：B3函数3yx和212xy 存在公共点 00,P xy，则0 x 的范围为（）A0,1B1,2C2,3D3,4【来源】陕西省西安中学高三下学期
21、第二次仿真考试理科数学试题【答案】B【分析】构造函数 2312xf xx，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案.【详解】解：由题意知，23102xfxx有解，04,11,27fff ，因为 fx 在 R 上连续且在 R 上单调递增，有 120ff，则解的范围为1,2，故选:B.4已知函数 fxxa，lng xx，若 fx 的图象与 g x 的图象在2020,2021 上恰有1个交点，则 a的取值范围为（）Aln 20202020,ln 20212021Bln 20202021,ln 2021202012/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版
22、下载 QQ 群：457512538Cln 20212020,ln 20202021Dln 20212021,ln 20202020【来源】“超级全能生”高三全国卷地区 4 月联考试题（乙卷）数学（理）试题【答案】D【分析】令 h xf xg x，将问题转化为 h x 在2020,2021 有且仅有1个零点，利用导数可求得 h x 在2020,2021 上单调递增，结合零点存在定理可知 20200h，20210h，解不等式组求得结果.【详解】令 lnh xfxg xxax，则 111xh xxx，当2020,2021x时，0hx，h x在2020,2021 上单调递增，若 fx 与 g x 在2
23、020,2021 上恰有1个交点，则 h x 在2020,2021 有且仅有1个零点，20200h，20210h，即2020ln 202002021ln 20210aa，解得：ln 20212021ln 20202020a，即 a 的取值范围为ln 20212021,ln 20202020.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内零点个数的求解问题.5函数 1542xfxx 的零点01,xaa，*aN，则 a（）A1B 2C3D 4【来源】山西省吕梁市高三上学期第一次模拟数学（文）试题【答案】C【分析
24、】根据题意，分别计算 1,(2),(3)fff，判断其正负，由零点存在定理判断函数零点所在区间为2,3，可得3a.【详解】13/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538已知 115042f，124502f；338504f，所以 2(3)0ff，可知函数零点所在区间为2,3，故3a.故选：C.6（多选）【普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】已知函数()ln(1)f xxx，则（）A()f x 在(0,)单调递增B()f x 有两个零点C曲线()yf x在点11,22f处切线的斜率为 1 ln 2 D()
25、f x 是偶函数【答案】AC【分析】根据函数的定义域可判断 D，利用函数的导数的正负可判断 A，利用导数的几何意义可判断 C，根据函数值的情况及零点定义可判断 B.【详解】由()ln(1)f xxx知函数的定义域为(1,)，)ln(1)1(xxfxx ，当(0,)x 时，ln(1)0,01xxx，()0fx，故()f x 在(0,)单调递增，A 正确；由(0)0f，当 10 x 时，ln(1)0,()ln(1)0 xf xxx，当ln(1)0,()0 xf x，所以()f x 只有 0 一个零点，B 错误；令12x ，1)ln1ln 2 121(2f ，故曲线()yf x在点11,22f处切线
26、的斜率为 1 ln 2，C 正确；由函数的定义域为(1,)，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误.故选：AC14/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：4575125387【四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】已知函数 lnf xxx，lng xxx，若1lnfxt，2g xt，则12 lnx xt 的最小值为（）A21eB 2eC1eD21e【答案】C【分析】由题可得12ln12lnxxexex，由xyxe在0,单调递增得12lnxx，即12x xt，则12 lnlnx xttt，利用导数求出 ln0h
27、 xtt t的最小值即可.【详解】111lnlnfxxxt，11xtex，222lng xxxt，2ln2lnxtex，由得12ln12lnxxexex，xyxe在0,单调递增，12lnxx，则12x xt，12 lnlnx xttt，令 ln0h xtt t，则 ln1h tt，令 0h t，解得1te，令 0h t，解得10 te，故 h t 在10,e单调递减，在 1,e 单调递增，min11h th ee.故选：C.8已知函数 f xkx，21xee，121xg xe，若 fx 与 g x 的图象上分别存在点 M N，使得 M N 关于直线1yx 对称，则实数 k 的取值范围是（）A1
28、,eeB24,2eeC2,2eeD3,3ee15/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538【答案】C【分析】由于关于1yx 点的坐标之间的关系得函数 g x 关于1yx 对称的函数为 =2lnh xx，进而将问题转化为函数 =2lnh xx与函数 f xkx图象在区间21,ee有交点，即方程2lnkxx 在区间21,ee上有解，故42kxx，进而得22kee.【详解】解：设00,xy是函数 g x 的图象上的任意一点，其关于1yx 对称的点的坐标为,x y，所以001,1xyyx，所以函数 g x 关于1yx 对称的
29、函数为 =2lnh xx.由于 fx 与 g x 的图象上分别存在点 M N，使得 M N 关于直线1yx 对称，故函数 =2lnh xx与函数 f xkx图象在区间21,ee有交点，所以方程2lnkxx 在区间21,ee上有解，所以 42kx，即42kxx，所以22kee.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于由关于直线1yx 对称的点的坐标之间的关系得 g x 关于1yx 对称的函数为=2lnh xx，进而将问题转化为函数 =2lnh xx与函数 f xkx图象在区间21,ee有交点，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题.9.【河南省郑州市高三上学期第一次质量检测理科】对于函数 yf x与
30、 yg x，若存在0 x，使00f xgx，则称00,M xf x，0(,Nx0)gx是函数 fx 与 g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数 1f xm x，ln xg xx，函数 fx 与 g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数 m的取值范围为（）16/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538A1,0B,1 C0,11,D,11,0 U【答案】A【分析】由题意可得函数1ym x 与ln xyx的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解.【详解】由题意函数1ym x
31、与ln xyx的图象有两个交点，令 ln xh xx，则 21 ln xhxx，当0,xe时，0h x，h x 单调递增；当,xe 时，0hx，h x 单调递减；又1ym x 恒过点1,0，当1x 时，0h x，在同一坐标系中作出函数1ym x、ln xh xx的图象，如图，由图象可知，若函数1ym x 与ln xyx的图象有两个交点，则0m，当直线1ym x 为函数ln xyx图象的切线时，由 11h可得1m,01m 即1,0m.故选：A.10.【全国著名重点中学新高考冲刺】已知函数 1ln1xf xxae 的图象与函数 11ln12xg xaex的图象有唯一公共点，则实数 a 的值为（）1
32、7/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538A1B0C2D 1【答案】D【分析】函数 yf x与 yg x的图象有唯一公共点转化为方程111lnln22xxxaeaex0 有唯一解，引入函数 11lnln 22xxh xxaexae，则函数有唯一零点，计算(2)()hxh x得对称性，由对称性可得 120haa，得出结论【详解】函数 1ln1xf xxae 的图象与函数 11ln12xg xaex的图象有唯一公共点，则方程111ln1ln12xxxaeaex 有唯一解，即方程111lnln202xxxaeaex有唯一
33、解，即函数 11lnln 22xxh xxaexae有唯一零点因为 212ln 2ln 2xhxxae 1222xxae11ln 2ln2xxxaexae，所以 2hxh x，则 yh x的图象关于直线1x 对称因为函数 h x 只有一个零点，所以函数 h x 的零点只能是1x，所以 12haa0，解得1a ，故选：D11.【山东省枣庄市滕州一中高三 10 月月考】定义：如果函数 yf x在区间,a b 上存在1212,x xaxxb，满足 1f bf afxba，2f bf afxba，则称函数 yf x是在区间,a b 上的一个双中值函数，已知函数 3265f xxx是区间0,t 上的双中
34、值函数，则实数t 的取值范围是（）A 3 6,5 5B 2 6,5 5C 2 3,5 5D61,5【答案】A【详解】18/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538 322612,355fxxxfxxx，函数 3265f xxx是区间0,t 上的双中值函数，区间0,t 上存在12120 xxxxt，（），满足 21206()()5f tffxfxttt，方程22126355xxtt在区间0,t 有两个不相等的解，令22126 3055g xxxttxt（），（），则 222212612()05520560056205t
35、ttgttg ttt，解得63 55t ，实数t 的取值范围是 3 6,5 5.故选:A12.【广西南宁三中高三数学（理科）】方程2221,(0)xxaa的解的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】将题意转化为22yxx的图象与21ya 的图象交点的个数即可得结果.【详解】0a，21 1a .而22yxx的图象如图，19/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：45751253822yxx的图象与21ya 的图象总有两个交点，即方程2221,(0)xxaa的解的个数是 2，故选：B.13【天津市耀华中学高三（上）】已知函数21,
36、1()ln,1xxf xx xx，若关于 x 的方程212()2()02f xtf xt 有 5 个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（）A 11 1,22eB 11 1,2 2eC 11 3,22eD 11 3,2 2e【答案】A【分析】利用导数研究函数ln xyx的单调性并求得最值，求解方程212()2()02f xtf xt 有1()02f xt 或 2()10f x 画出函数图象，数形结合得答案【详解】设ln xyx，则21 ln xyx，由0y，解得 xe，当(0,)xe时，0y，函数为增函数，当(,)xe 时，0y，函数为减函数当 xe时，函数取得极大值也是最大值为 f e1e方
37、程212()2()02f xtf xt 有 5 化为1()2()102f xtf x 20/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538解得1()2f xt 或1()2f x 如图画出函数图象：1102te 11122te，故选：A14.【河南省信阳市高三（10 月份）第一次质检数学（理科）】已知函数 21,1ln,1xxf xx xx，若关于 x 的方程 221 20f xm f xm有 5 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是_.【答案】10,e【分析】利用导数研究函数lnxyx的单调性并求得最值，求解方程22(
38、)(1 2)()0f xm f xm得到()f xm或1()2f x 画出函数图象，数形结合得答案【详解】设lnxyx，则21lnxyx，由0y，解得 xe，当(0,)xe时，0y，函数为增函数，当(,)xe 时，0y，函数为减函数当 xe时，函数取得极大值也是最大值为 f（e）1e方程22()(1 2)()0f xm f xm化为()2()10f xmf x解得()f xm或1()2f x 21/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538如图画出函数图象：可得m 的取值范围是1(0,)e故答案为：10,e15已知函数
39、 212f xxk x有两个不同的零点，则常数 k 的取值范围是_.【来源】全国高三高考数学（文）信息试题（一）【答案】303k【分析】根据题意，函数 212f xxk x有两个不同的零点，等价于21yx与2yk x 的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】由函数 212f xxk x有两个不同的零点，可知21yx与2yk x 的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，22/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538当21yx与2yk x 的图象相切时，2211kk，即33k ，由图可知0k，故相切时
40、33k，因此结合图象可知，当303k时，21yx与2yk x 的图象有两个不同的交点，即当303k时，函数 212f xxk x有两个不同的零点.故答案为：303k.16已知函数112()1421xxf xk有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是_.【来源】河北省衡水市饶阳中学高三 5 月数学精编试题【答案】2 313，【分析】令2xt，根据解析式，求得 t 的范围，将()f x 有两个不同的零点，转化为曲线21yt（14 个单位圆）与经过定点(2 0)P，的直线(2)2kyt 有两个不同交点，分别作出图象，数形结合，即可求得答案.【详解】令2xt，则由函数的定义域知21 410 xt，解
41、得 01t ，且2xt 为增函数，所以函数()f x 有两个不同的零点转化为关于 t 的方程21(2)2ktt 在区间(0 1，上有两个不等实根，即曲线21yt（14 个单位圆）与经过定点(2 0)P，的直线(2)2kyt 有两个不同交点.如图，设过点 P 的直线与曲线21yt(01)t 相切于点 A，连接 OA.设切线 PA 的方程为1(2)yk t，即1120k tyk.由OAPA，得122121(1)kk，解得133k （正值已舍去）.又易得直线 PB 的斜率是 011202，故31322k ，解得2 313k，即实数 k 的取值范围是2 313，.故答案为：2 313，23/24微信公
42、众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538【点睛】解题的关键是将方程求根问题，转换为求两图象交点问题，在根据直线与圆的位置关系，求得参数范围，考查分析理解，数形结合思想，属基础题.17【陕西省榆林市高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02xexf xxxx.（1）求斜率为 12 的曲线()yf x的切线方程；（2）设()()f xg xmx，若()g x 有 2 个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）81610 xy 或2ln 2 10 xy；（2）0,22.【分析】（1）求出()fx，令1()2fx可得
43、ln2x 或 34，分别求出切点坐标和切线方程；（2）令()()xf xmx，则2,0()12,02xemx xxxm xx，由0 x 讨论0m 和0m 时()x 的单调性确定零点个数，由0 x 讨论22m、22m、2222m、22m、22m 时()x 的单调性和零点个数从而找到答案.【详解】（1）,0()22,0 xexfxxx，令1()2fx可得：ln2x 或 34，当ln2x 时，切点为1ln 2,2，切线方程为：1ln 2 122yx，即：2ln 2 10 xy；24/24微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 学生+教师双版下载 QQ 群：457512538
44、当34x 时，切点为 3 7,4 16，切线方程为：11216yx，即：81610 xy；（2）()()0f xg xmx，即：()0f xmx，令()()xf xmx，则2,0()12,02xemx xxxm xx，当0 x 时，若0m，()0 x，无零点，若0m，()x 在,0上递增，01，10m ，此时()x 有且只有一个零点；当0 x 时，2222mm，122xxm，12102x x，若22m 时，0，120 xx，此时()x 在0,上有两个零点；若22m 时，0，120 xx，此时()x 在0,上有一个零点；若 2222m时，此时()x 在0,上无零点；若22m 时，0，120 xx，此时()x 在0,上无零点；若22m 时，0，120 xx，此时()x 在0,上无零点；因为()g x 有 2 个零点，所以022m，故 m 的取值范围为0,22.
