1、第三节圆的方程1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程1圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的轨迹叫做圆(2)确定一个圆的要素是和定点定长半径圆心2圆的标准方程3圆的一般方程(其中)其中圆心为，半径r.(D2，E2)12 D2E24F(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0D2E24F04点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2.(x0a)2(y0b)20)，由三个条件得到关于D、E、F的一个
2、三元一次方程，解方程组确定D、E、F的值思路探究 因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单例 1 求与 x 轴相切，圆心在直线 3xy0 上，且截直线 xy0 得弦长为 2 7的圆的方程课堂记录 解法一：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线 xy0 的距离为|ab|2，r2(|ab|2)2(7)2，即 2r2(ab)214.由于所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立、解得a1，b3，r29；或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.解法二：设所求圆的方程是x2y2DxEyF0.圆心为(
3、D2，E2)，半径为12D2E24F.令 y0，得 x2DxF0.由圆与 x 轴相切，得 0，即 D24F.又圆心(D2，E2)到直线 yx 的距离为D2E22.由已知，得D2E222(7)2r2，即(DE)2562(D2E24F).又圆心(D2，E2)在直线 3xy0 上，3DE0.联立、解得D2，E6，F1；或D2，E6，F1，故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.即时训练求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心C在直线l：2x7y80上的圆的方程解法一：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由已知，得6a20b2r21a25b2r2，2a7b80解得a3b2r
4、13所以所求圆的方程为(x3)2(y2)213.解法二：线段 AB 的中垂线方程为 xy10.由方程组2x7y80 xy10，得圆心坐标为 C(3,2)又半径 r|CA|13，所以所求圆的方程为(x3)2(y2)213.热点之二 与圆有关的最值问题1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化如(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为直线在 y 轴上的截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题2特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点(x，
5、y)与原点(0,0)连线的直线斜率，x2y2表示点(x，y)与原点的距离例 2 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上(1)求 xy 的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求 x2y22x4y5的最大值和最小值思路探究(1)设 txy，即把 t 可看成 yxt 的纵截距求(2)yx可以看成原点与动点(x，y)连线的斜率，从而得解(3)x2y22x4y5可变形为 x12y22，于是把它看做定点(1,2)与动点(x，y)两点间的距离，借助其图形求解课堂记录(1)设txy，则yxt，故xy的最大值和最小值即为直线yxt与已知圆有公共点时直线纵截距的最大值与最小值，即直线与圆相
6、切的纵截距由|23t|21，解得 t 21 或 t 21，所以 xy 的最大值是 21，最小值是 21.(2)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为 ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k3|1k2 1，解得 k22 33 或 k22 33，所以yx的最大值为22 33，最小值为22 33.(3)x2y22x4y5 x12y22，所以可看成点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，即可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差，又因为圆心到定点
7、的距离为212322 34，所以 x2y22x4y5的最大值是 341，最小值是 341.即时训练已知圆 C：(x2)2y21，P(x，y)为圆上任意一点，求：(1)y2x1的最大值与最小值；(2)x2y 的最大值和最小值解：(1)设y2x1k，即 kxyk20，圆心 C(2,0)，r1.当直线与圆相切时，k 有最值，|2k0k2|k211，解得 k3 34.y2x1的最大值为3 34，最小值为3 34(2)设 x2yb，即 x2yb0.当直线与圆相切时，b 有最值，|2b|14 1，解得 b2 5.x2y 的最大值为2 5，最小值为2 5.热点之三 与圆有关的轨迹问题求轨迹方程的大致步骤：(
8、1)建立平面直角坐标系，设出动点坐标；(2)确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解例3 设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹课堂记录 如右图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP的中点坐标为(x2，y2)，线段 MN 的中点坐标为(x032，y042)因为平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042，从而x0 x3y0y4.N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆
9、：(x3)2(y4)24，但应除去两点：(95，125)和(215，285)(点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)即时训练点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中心轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则 x20y204，连线中点坐标为(x，y)，则2xx04，2yy02x02x4，y02y2，代入 x20y204 中得(x2)2(y1)21.答案：A 热点之四 圆的方程的综合应用解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合图的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思
10、想的应用例 4 如右图，已知圆心坐标为(3，1)的圆 M 与 x 轴及直线 y 3x 分别相切于 A、B 两点，另一圆 N 与圆 M 外切、且与 x轴及直线 y 3x 分别相切于 C、D 两点(1)求圆 M 和圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度思路探究 求圆M的半径 求圆M的方程 求圆N的半径 求圆N的方程 求弦长课堂记录(1)M 的坐标为(3，1)，M 到 x 轴的距离为 1，即圆 M 的半径为 1，则圆 M 的方程为(x 3)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM.则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在CO
11、D的平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，OM：ONMA：NC，即 23r1rr3，则 OC3 3，则圆 N 的方程为(x3 3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度，此弦的方程是y 33(x 3)，即 x 3y 30，圆心 N 到该直线的距离 d 32，则弦长为 2 r2d2 33.思维拓展 解答本例(1)易出现不会求N点坐标，从而求不出圆N的方程的情况，出现这种情况的原因是不能根据题意判断O，M，N三点共线解题时要认真审题，挖掘题目的隐含条件即时训练已知点O(0,0)和点B(m,0)(m0)，动点P到O，
12、B的距离之比为2：1，求：(1)P点的轨迹；(2)P点在什么位置时POB面积最大？并求出最大面积解：(1)设 P(x，y)，由已知|PO|：|PB|2：1，所以 x2y2：xm2y22：1.化简得(x43m)2y2(23m)2.即 P 点轨迹是以 A(43m,0)为圆心，23m 为半径的圆(2)如右图所示，POB 的一边 OB(定长)在 x 轴上，另一顶点P 在以 A 点为圆心的圆上，由平面几何知识知，当 P 点为与 x 轴垂直的直径的两端点时，POB 面积最大，过点 A 且与 x 轴垂直的直线方程为 x43m，它与圆 A 交于 P(43m，23m)，P(43m，23m)，所以 P 点坐标为(
13、43m，23m)时，POB 的面积最大其值为12|OB|AP|12m23m13m2.通过对近年高考试题的统计分析可以看出，圆的方程作为由一次曲线向二次曲线的过渡，蕴含着解析法的解题思路和方法，是解析法的基础，因此，以圆为载体考查解析法的基本思想和方法，是历年高考考查的重点，题型以选择题和填空题为主，有时也会出现解答题，以低、中档题居多例5(2009辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22 解 析 由 题 意 可设圆 心 坐 标 为(a，a)，则|aa|2
14、|aa4|2，解得 a1，故圆心坐标为(1，1)，半径 r|11|2 2，所以圆的方程为(x1)2(y1)22.答案 B1(2010福建高考)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0Dx2y22x0解析：抛物线的焦点坐标是(1,0)，该点到原点的距离是1，故所求圆的方程为(x1)2y21，化为一般方程为x2y22x0，故选D.答案：D2(2010课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_又圆C过A(4,1)，B(2,1)，(4a)2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2，解析：设圆 C 方程：(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)到直线xy10 的距离 d|ab1|2r，由，得 a3，b0，r 2，圆的方程为(x3)2y22.答案：(x3)2y22
